Каталог по темам

Задачи

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 490]

Задача 115399

Темы:	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 6-
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

На плоскости отмечены все точки с целыми координатами (x,y) такие, что x²+y² 1010 . Двое играют в игру (ходят по очереди). Первым ходом первый игрок ставит фишку в какую-то отмеченную точку и стирает ее. Затем каждым очередным ходом игрок переносит фишку в какую-то другую отмеченную точку и стирает ее. При этом длины ходов должны все время увеличиваться; кроме того, запрещено делать ход из точки в симметричную ей относительно центра. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из играющих может обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?

Прислать комментарий Решение

Задача 58133

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.

Прислать комментарий Решение

Задача 109604

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Авторы: Берзиньш А., Мусин О.

Докажите, что если у выпуклого многоугольника все углы равны, то по крайней мере у двух его сторон длины не превосходят длин соседних с ними сторон.

Прислать комментарий Решение

Задача 73689

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 6+
Классы: 8,9,10

Автор: Харазишвили А.Г.

На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:

некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 111351

Темы:	[	Группы движений (самосовмещений) правильных многогранников	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Медиана пирамиды (тетраэдра)	]
	[	Площадь и ортогональная проекция	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 7-
Классы: 10,11

Автор: Косухин О.Н.

Среди вершин любого ли многогранника можно выбрать четыре вершины тетраэдра, площадь проекции которого на любую плоскость составляет от площади проекции (на ту же плоскость) исходного многогранника: а) больше, чем , б) не меньше, чем , в) не меньше, чем ?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 490]