Каталог по темам

Задачи

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 490]

Задача 109765

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Наименьшая или наибольшая площадь (объем)	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Авторы: Дольников В.Л., Богданов И.И.

На плоскости взято конечное число красных и синих прямых, среди которых нет параллельных, так, что через каждую точку пересечения одноцветных прямых проходит прямая другого цвета. Докажите, что все прямые проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109813

Темы:	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Раскраски	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

В кабинете президента стоят 2004 телефона, любые два из которых соединены проводом одного из четырёх цветов. Известно, что провода всех четырёх цветов присутствуют. Всегда ли можно выбрать несколько телефонов так, чтобы среди соединяющих их проводов встречались провода ровно трех цветов?

Прислать комментарий

Решение

Задача 109859

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости рассматривается конечное множество равных, параллельно расположенных квадратов, причем среди любых k+1 квадратов найдутся два пересекающихся. Докажите, что это множество можно разбить не более чем на 2k-1 непустых подмножеств так, что в каждом подмножестве все квадраты будут иметь общую точку.

Прислать комментарий Решение

Задача 110088

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Принцип крайнего	]
	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Челноков Г.Р.

Каждая клетка клетчатой плоскости раскрашена в один из n² цветов так, что в каждом квадрате из n× клеток встречаются все цвета. Известно, что в какой-то строке встречаются все цвета. Докажите, что существует столбец, раскрашенный ровно в n цветов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110154

Темы:	[	Системы точек	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Наименьший или наибольший угол	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)² .

Прислать комментарий Решение

Страница: << 61 62 63 64 65 66 67 >> [Всего задач: 490]