Фильтр
Выбрано 5 задач Убрать все задачи
Докажите, что координаты точки пересечения медиан треугольника есть средние арифметические соответствующих координат вершин треугольника.
В пифагоровой таблице умножения выделили прямоугольную рамку толщиной в одну клетку, причём каждая сторона рамки состоит из нечётного числа клеток. Клетки рамки поочередно раскрасили в два цвета – чёрный и белый. Докажите, что сумма чисел в чёрных клетках равна сумме чисел в белых клетках.
Пифагорова таблица умножения – это клетчатая таблица, в которой на пересечении m-й строки и n-го столбца стоит число mn
(для любых натуральных m и n).
Даны различные натуральные числа a, b. На координатной плоскости нарисованы графики функций y = sin ax, y = sin bx и отмечены все точки их пересечения. Докажите, что существует натуральное число c, отличное от a, b и такое, что график функции y = sin cx проходит через все отмеченные точки.
Дан квадрат n×n. Изначально его клетки раскрашены в белый и чёрный цвета в шахматном порядке, причём хотя бы одна из угловых клеток чёрная. За один ход разрешается в некотором квадрате 2×2 одновременно перекрасить входящие в него четыре клетки по следующему правилу: каждую белую перекрасить в чёрный цвет, каждую чёрную – в зелёный, а каждую зелёную – в белый. При каких n за несколько ходов можно получить шахматную раскраску, в которой чёрный и белый цвета поменялись местами?
На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
Задачи Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 168]
Задача 65341 |
|
|
Вася купил n пар одинаковых носков. В течение n дней Вася не знал проблем: каждое утро брал из шкафа новую пару и носил её целый день. Через n дней Васина мама постирала все носки в стиральной машине и разложила
их по парам, как получилось, поскольку, повторим, носки одинаковые. Назовём пару носков удачной, если оба носка в этой паре были на Васе в один и тот же день.
а) Найти вероятность того, что все получившиеся пары удачные.
б) Доказать, что матожидание числа удачных пар больше 0,5.
|
|
Решение |
Задача 65352 |
|
|
В страшную грозу по верёвочной лестнице цепочкой поднимаются n гномиков. Если вдруг случится удар грома, то от испуга каждый гномик, независимо от других, может упасть с вероятностью p (0 < p < 1). Если гномик падает, то он сшибает и всех гномиков, которые находятся ниже. Найдите:
а) Вероятность того, что упадёт ровно k гномиков.
б) Математическое ожидание числа упавших гномиков.
|
|
|
Решение |
Задача 97879 |
|
|
Восемь волейбольных команд провели турнир в один круг (каждая команда сыграла с каждой один раз). Доказать, что можно выделить такие четыре команды A, B, C и D, что A выиграла у B, C и D; B выиграла у C и D, C выиграла у D.
|
|
|
Решение |
Задача 98231 |
|
|
В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.
|
|
|
Решение |
Задача 110105 |
|
|
На отрезке [0, 2002] отмечены его концы и точка с координатой d, где d – взаимно простое с 1001 число. Разрешается отметить середину любого отрезка с концами в отмеченных точках, если её координата целая. Можно ли, повторив несколько раз эту операцию, отметить все целые точки на отрезке?
|
|
Решение |
Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 168]
