Каталог по темам

Задачи

Страница: << 244 245 246 247 248 249 250 >> [Всего задач: 1308]

Задача 109780

Темы:	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Теория множеств (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Числовое множество M , содержащее 2003 различных положительных числа, таково, что для любых трех различных элементов a,b,c из M число a2+bc рационально. Докажите, что можно выбрать такое натуральное n , что для любого a из M число a рационально.

Прислать комментарий Решение

Задача 109998

Темы:	[	Индукция (прочее)	]
	[	Математическая логика (прочее)	]
	[	Объединение, пересечение и разность множеств	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

В классе каждый болтун дружит хотя бы с одним молчуном. При этом болтун молчит, если в кабинете находится нечетное число его друзей – молчунов. Докажите, что учитель может пригласить на факультатив не менее половины класса так, чтобы все болтуны молчали.

Прислать комментарий Решение

Задача 110131

Темы:	[	Взвешивания	]
	[	Правило произведения	]
	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Сочетания и размещения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Богданов И.И., Хромин Ю.

В наборе из 17 внешне одинаковых монет две фальшивых, отличающихся от остальных по весу. Известно, что суммарный вес двух фальшивых монет вдвое больше веса настоящей. Всегда ли можно ли определить пару фальшивых монет, совершив пять взвешиваний на чашечных весах без гирь? (Определять, какая из фальшивых монет тяжелее, не требуется.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 110926

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Теория игр (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На листке бумаги написаны натуральные числа от 1 до N. Игроки по очереди обводят в кружок одно число, соблюдая условие: любые два уже обведённых числа должны быть взаимно простыми. Два раза число обводить нельзя. Проигрывает тот, у кого нет хода.
а) Кто – начинающий игру или ходящий вторым – победит при N = 10?
б) А при N = 12?
в) А при N = 15?
г) А при N = 30?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115417

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Необычные конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Агаханов Н.Х.

Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 244 245 246 247 248 249 250 >> [Всего задач: 1308]