На боковых рёбрах PA , PB , PC (или на их продолжениях) треугольной пирамиды PABC взяты точки M , N , K соответственно. Докажите, что отношение объёмов пирамид PMNK и PABC равно

· · .

   Решение

На плоскости нарисованы n > 2 различных векторов  a₁, a₂, ..., a_n  с равными длинами. Оказалось, что все векторы  –a₁ + a₂ + ... + a_n,
a₁ – a₂ + a₃ + ... + a_n,  a₁ + a₂ + ... + a_n–1 – a_n   также имеют равные длины. Докажите, что  a₁ + a₂ + ... + a_n = 0.

   Решение

Дана бесконечная последовательность многочленов P₁(x), P₂(x), ... . Всегда ли существует конечный набор функций  f₁(x),  f₂(x), ...,  f_N(x), композициями которых можно записать любой из них (например,  P₁(x) =  f₂(f₁(f₂(x))))?

   Решение

Точка M принадлежит ребру CD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , причём CM:MD = 1:2 . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым DB и AC1 . В каком отношении эта плоскость делит диагональ A1C параллелепипеда?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]      

Точка M принадлежит ребру D1C1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , причём D1M:MC1 = 1:2 . Точка K расположена на продолжении ребра A1B1 за точку B1 , причём B1K = A1B1 . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки M , K и B . В каком отношении эта плоскость делит ребро DD1 и диагональ DB1 параллелепипеда?

Прислать комментарий

Решение

Точка M принадлежит ребру CD параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , причём CM:MD = 1:2 . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M параллельно прямым DB и AC1 . В каком отношении эта плоскость делит диагональ A1C параллелепипеда?

Прислать комментарий

Решение

Точка N принадлежит ребру BC параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , причём CN:NB = 1:2 . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку N параллельно прямым DB и AC1 . В каком отношении эта плоскость делит диагональ A1C параллелепипеда?

Прислать комментарий

Решение

Точка M принадлежит ребру AA1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 , причём AM:MA1 = 1:2 . Постройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку M и середину K ребра BC параллельно прямой B1D1 . В каком отношении эта плоскость делит диагональ BD1 параллелепипеда?

Прислать комментарий

Решение

Куб разбит на прямоугольные параллелепипеды так, что для любых двух параллелепипедов их проекции на некоторую грань куба перекрываются (то есть пересекаются по фигуре ненулевой площади). Докажите, что для любых трёх параллелепипедов найдётся такая грань куба, что проекции каждых двух из них на эту грань не перекрываются.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 38]