На сторонах AB, BC, CD и DA выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки K, L, M и N соответственно, причем AK : KB = DM : MC = и  BL : LC = AN : ND = . Пусть P — точка пересечения отрезков KM и LN. Докажите, что NP : PL = и  KP : PM = .

   Решение

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

   Решение

Десяти ребятам положили в тарелки по 100 макаронин. Есть ребята не хотели и стали играть. Одним действием кто-то из детей перекладывает из своей тарелки по одной макаронине всем другим детям. После какого наименьшего количества действий у всех в тарелках может оказаться разное количество макаронин?

   Решение

Внутри цилиндра лежат два шара радиуса r и один шар радиуса 2r так, что каждый шар касается двух других, верхнего основания цилиндра и его боковой поверхности. Найдите радиус основания цилиндра.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC отрезок BH является высотой, опущенной на гипотенузу, а точка L делит отрезок HC пополам. Найдите угол LBC, если известно, что AH = , а BL = 3

   Решение

Решите ребус:  АХ×УХ = 2001.

   Решение

Решите ребус:  БАО×БА×Б = 2002.

   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Докажите, что площадь одного из треугольников  AB₁C₁, A₁BC₁, A₁B₁C не превосходит:
а) S_ABC/4;
б)  S_A1B1C1.

   Решение

Три шара, среди которых имеется два одинаковых, касаются плоскости P и, кроме того, попарно касаются друг друга. Вершина прямого кругового конуса принадлежит плоскости P , а ось конуса перпендикулярна к этой плоскости. Все три шара лежат вне конуса, причем каждый из них касается некоторой образующей конуса. Найдите косинус угла между образующей конуса и плоскостью P , если известно, что в треугольнике с вершинами в точках касания шаров с плоскостью P величина одного из углов равна 150^o .

   Решение

Даны точки A(2;4), B(6; - 4) и C(- 8; - 1). Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

   Решение

Докажите, что если в треугольной пирамиде сумма длин противоположных рёбер одна и та же для любой пары таких рёбер, то вершины этой пирамиды являются центрами четырёх шаров, попарно касающихся друг друга.

   Решение

Сто медвежат нашли в лесу ягоды: самый младший успел схватить 1 ягоду, медвежонок постарше – 2 ягоды, следующий – 4 ягоды, и так далее, самому старшему досталось 2⁹⁹ ягод. Лиса предложила им поделить ягоды "по справедливости". Она может подойти к двум медвежатам и распределить их ягоды поровну между ними, а если при этом возникает лишняя ягода, то лиса её съедает. Такие действия она продолжает до тех пор, пока у всех медвежат не станет ягод поровну. Какое наибольшее количество ягод может съесть лиса?

   Решение

Найдите все такие нечётные натуральные  n > 1,  что для любых взаимно простых делителей a и b числа n число  a + b – 1  также является делителем n.

   Решение

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CD . Проекция отрезка BD на катет BC равна l , а проекция отрезка AD на катет AC равна m . Найдите гипотенузу AB .

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 159]      

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O . Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершину B , касается стороны AC и пересекает сторону AB в точке K такой, что BK:AK=5:1 . Найдите длину стороны BC .

Прислать комментарий

Решение

Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке O . Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через вершину A , касается стороны BC и пересекает сторону AC в точке M такой, что AM:MC=4:1 . Найдите длину стороны AB .

Прислать комментарий

Решение

На окружности взята точка A , на диаметре BC — точки D и E , а на его продолжении за точку B — точка F . Найдите BC , если BAD = ACD , BAF = CAE , BD=2 , BE=5 и BF=4 .

Прислать комментарий

Решение

На диаметре AB окружности взяты точки C и D , на его продолжении за точку B — точка E , а на окружности — точка F , причём AFC = BFE , DAF = BFD , AB=8 , CB=6 и DB=5 . Найдите BE .

Прислать комментарий

Решение

В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CD . Проекция отрезка BD на катет BC равна l , а проекция отрезка AD на катет AC равна m . Найдите гипотенузу AB .

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 159]