Каталог по темам

Задачи

Страница: << 115 116 117 118 119 120 121 >> [Всего задач: 603]

Задача 111728

Темы:	[	Пересекающиеся сферы	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Диаметр, основные свойства	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

В пространстве даны две пересекающиеся сферы разных радиусов и точка A, принадлежащая обеим сферам. Докажите, что в пространстве существует точка B, обладающая следующим свойством: если через точки A и B провести произвольную окружность, то точки ее повторного пересечения с данными сферами будут равноудалены от B.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64354

Темы:	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Пастор А.

Внутри вписанного четырёхугольника ABCD отмечены такие точки P и Q, что ∠PDC + ∠PCB = ∠PAB + ∠PBC = ∠QCD + ∠QDA = ∠QBA + ∠QAD = 90°.
Докажите, что прямая PQ образует равные углы с прямыми AD и BC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109643

Темы:	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Развертка помогает решить задачу	]
	[	Теорема о трех перпендикулярах	]
	[	Правильный тетраэдр	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Замечательные точки и линии в треугольнике (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 10,11

Автор: Агаханов Н.Х.

Сфера, вписанная в тетраэдр, касается одной из его граней в точке пересечения биссектрис, другой – в точке пересечения высот, третьей – в точке пересечения медиан. Докажите, что тетраэдр правильный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 115871

Темы:	[	Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч.	]
	[	Против большей стороны лежит больший угол	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Даны окружность и не лежащая на ней точка. Из всех треугольников, одна вершина которых совпадает с данной точкой, а две другие лежат на окружности, выбран треугольник наибольшей площади. Докажите, что он равнобедренный.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64958

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

В треугольнике АВС точки М и N – середины сторон AC и ВС соответственно. Известно, что точка пересечения медиан треугольника AMN является точкой пересечения высот треугольника АВС. Найдите угол АВС.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 115 116 117 118 119 120 121 >> [Всего задач: 603]