Каталог по темам

Задачи

Страница: << 115 116 117 118 119 120 121 >> [Всего задач: 603]

Задача 64968

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Авторы: Мякишев А.Г., Мавло Д.

Около треугольника ABC описали окружность. A₁ – точка пересечения с нею прямой, параллельной BC и проходящей через A. Точки B₁ и C₁ определяются аналогично. Из точек A₁, B₁, C₁ опустили перпендикуляры на BC, CA, AB соответственно. Докажите, что эти три перпендикуляра пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65127

Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Свойства медиан. Центр тяжести треугольника.	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Якубов А.

Продолжения медиан AA₁, BB₁ и CC₁ треугольника ABC пересекают его описанную окружность в точках A₀, B₀ и C₀ соответственно. Оказалось, что площади треугольников ABC₀, AB₀C и A₀BC равны. Докажите, что треугольник ABC равносторонний.

Прислать комментарий

Решение

Задача 105205

Темы:	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Гаврилюк А.

Дан остроугольный треугольник ABC. На сторонах AB и BC во внешнюю сторону построены равные прямоугольники ABMN и LBCK так, что AB = KC.
Докажите, что прямые AL, NK и MC пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108244

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Свойства биссектрис, конкуррентность	]
	[	Биссектриса угла	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Сонкин М.

Биссектрисы AD и CE треугольника ABC пересекаются в точке O. Прямая, симметричная AB относительно CE, пересекает прямую, симметричную BC относительно AD, в точке K. Докажите, что KO ⊥ AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108927

Темы:	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

На стороне BC остроугольного треугольника ABC взята точка K. Биссектриса угла CAK вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC в точке L. Докажите, что если прямая LK перпендикулярна отрезку AB, то либо AK = KB, либо AK = AC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 115 116 117 118 119 120 121 >> [Всего задач: 603]