Версия для печати
Убрать все задачи

---

Найдите корень уравнения ()2x-19 = .

   Решение

---

В четырёхугольной пирамиде SKLMN основанием является параллелограмм KLMN , LSM = KSL = . Все вершины пирамиды лежат на окружностях оснований усечённого конуса, высота которого равна , а радиусы оснований равны 1 и . Найдите объём пирамиды.

   Решение

---

Пусть K, L, M, N – середины сторон AB, BC, CD, AD выпуклого четырёхугольника ABCD; отрезки KM и LN пересекаются в точке O.
Докажите, что   S_AKON + S_CLOM = S_BKOL + S_DNOM.

   Решение

---

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена  x² – ax + b  – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид  ^m/_n.  Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n^2/3.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 53]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67318

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Индукция (прочее) ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Дан многочлен степени $n \geqslant 1$ с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что модули коэффициентов этого многочлена не превосходят 2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111813

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Обыкновенные дроби ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Квадратный трехчлен (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена  x² – ax + b  – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид  ^m/_n.  Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n^2/3.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115404

Тема:   [ Свойства коэффициентов многочлена ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные n, что при некоторых отличных от нуля действительных числах a, b, c, d многочлен  (ax + b)¹⁰⁰⁰ – (cx + d)¹⁰⁰⁰  после раскрытия скобок и приведения всех подобных слагаемых имеет ровно n ненулевых коэффициентов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67434

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Дан многочлен степени $n$ > 0 с целыми ненулевыми коэффициентами, каждый из которых является его корнем. Докажите, что у этого многочлена не может быть никаких других коэффициентов, кроме 1, –1 и –2.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98355

Темы:   [ Свойства коэффициентов многочлена ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Целочисленные и целозначные многочлены ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ]

Сложность: 5- Классы: 9,10

Пусть  1 + x + x² + ... + x^n–1 = F(x)G(x),  где F и G – многочлены, коэффициенты которых – нули и единицы  (n > 1).
Докажите, что один из многочленов F, G представим в виде  (1 + x + x² + ... + x^k–1)T(x),  где T(x) – также многочлен с коэффициентами 0 и 1  (k > 1).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 53]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями