Версия для печати
Убрать все задачи
Площадь треугольника ABC равна
15
. Угол BAC равен
120o.
Угол ABC больше угла ACB. Расстояние от вершины A до центра
окружности, вписанной в треугольник ABC, равно 2. Найдите медиану
треугольника ABC, проведённую из вершины B.
Решение
В тетраэдр
ABCD , длины всех ребер которого не более 100, можно поместить
две непересекающиеся сферы диаметра 1. Докажите, что в него можно поместить
одну сферу диаметра 1,01.
Решение
Задано такое натуральное число A, что для любого натурального N, делящегося на A, число 
тоже делится на A. ( – число, состоящее из тех же цифр, что и N, но записанных в обратном порядке; например, 
= 7691, 
= 54). Доказать, что A является делителем числа 99.
Решение
В пространстве даны восемь параллельных плоскостей таких, что расстояния между
каждыми двумя соседними равны. На каждой из плоскостей выбирается по точке. Могут ли выбранные точки оказаться вершинами куба.
Решение
Для прохождения теста тысячу мудрецов выстраивают в колонну. Из колпаков с номерами от 1 до 1001 один прячут, а остальные в случайном порядке надевают на мудрецов. Каждый видит только номера на колпаках всех впереди стоящих. Далее мудрецы по порядку от заднего к переднему называют вслух целые числа. Каждое число должно быть от 1 до 1001, причём нельзя называть то, что уже было сказано. Результат теста – число мудрецов, назвавших номер своего колпака. Мудрецы заранее знали условия теста и могли договориться, как действовать.
а) Могут ли они гарантировать результат более 500?
б) Могут ли они гарантировать результат не менее 999?
Решение
Дан многочлен P(x) = a0xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an. Положим m = min {a0, a0 + a1, ..., a0 + a1 + ... + an}.
Докажите, что P(x) ≥ mxn при x ≥ 1.
Решение
Фильтр
