ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Храбров А.

На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число  2x + 1  или x/x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.

   Решение

Задачи

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 [Всего задач: 125]      



Задача 107761

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Обратный ход ]
[ Уравнения с модулями ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Шабат Г.Б.

Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями:   xn+1 = 1 – |1 – 2xn|,  причём  0 ≤ x1 ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая  а) в том  б) и только в том случае, когда x1 рационально.

Прислать комментарий     Решение

Задача 98215

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Периодичность и непериодичность ]
[ Рациональные и иррациональные числа ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Обратный ход ]
[ Уравнения с модулями ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9

Бесконечная последовательность чисел xn определяется условиями:  xn+1 = 1 – |1 – 2xn|,  причём  0 ≤ x1 ≤ 1.
  а) Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая в том и только в том случае, когда x1 рационально.
  б) Сколько существует значений x1, для которых эта последовательность – периодическая с периодом T (для каждого T = 2, 3, ...)?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111883

Темы:   [ Процессы и операции ]
[ Полуинварианты ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Храбров А.

На доске написано натуральное число. Если на доске написано число x, то можно дописать на нее число  2x + 1  или x/x+2. В какой-то момент выяснилось, что на доске присутствует число 2008. Докажите, что оно там было с самого начала.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110019

Темы:   [ Средние величины ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Имеется 40 одинаковых газовых баллонов, значения давления газа в которых нам неизвестны и могут быть различны. Разрешается соединять любые баллоны друг с другом в количестве, не превосходящем заданного натурального числа k, а затем разъединять их; при этом давление газа в соединяемых баллонах устанавливается равным среднему арифметическому давлений в них до соединения. При каком наименьшем k существует способ уравнивания давлений во всех 40 баллонах независимо от первоначального распределения давлений в баллонах?

Прислать комментарий     Решение

Задача 111344

Темы:   [ Раскраски ]
[ Деление с остатком ]
[ Четность и нечетность ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Натуральные числа покрашены в N цветов. Чисел каждого цвета бесконечно много. Известно, что цвет полусуммы двух различных чисел одной чётности зависит только от цветов слагаемых.
  а) Докажите, что полусумма чисел одной чётности одного цвета всегда окрашена в тот же цвет.
  б) При каких N такая раскраска возможна?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 [Всего задач: 125]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .