Страница:
<< 53 54 55 56
57 58 59 >> [Всего задач: 488]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На кольцо свободно нанизано 2009 бусинок. За один ход любую бусинку можно передвинуть так, чтобы она оказалась ровно посередине между двумя соседними. Существуют ли такие изначальная расстановка бусинок и последовательность ходов, при которых какая-то бусинка пройдёт хотя бы один полный круг?
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
В Академии Наук 999 академиков. Каждая научная тема интересует ровно троих академиков, и у каждых двух академиков есть ровно одна тема, интересная им обоим. Докажите, что можно выбрать 250 тем из их общей области научных интересов так, чтобы каждый академик интересовался не более чем одной из них.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Для натурального a обозначим через P(a) наибольший простой делитель числа a² + 1.
Докажите, что существует бесконечно много таких троек различных натуральных чисел a, b, c, что P(a) = P(b) = P(c).
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9
|
В любом выпуклом многоугольнике, кроме параллелограмма, можно выбрать три стороны, при продолжении которых образуется треугольник, объемлющий данный многоугольник. Докажите это.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11
|
Из бесконечной шахматной доски вырезали многоугольник со сторонами,
идущими по сторонам клеток. Отрезок периметра многоугольника
называется черным, если примыкающая к нему изнутри многоугольника
клетка – черная, соответственно белым, если клетка белая.
Пусть
A – количество черных отрезков на периметре,
B –
количество белых, и пусть многоугольник состоит из
a черных
и
b белых клеток. Докажите, что
A-B=4(
a-b)
.
Страница:
<< 53 54 55 56
57 58 59 >> [Всего задач: 488]
Фильтр
Решение 
