Каталог по темам

Задачи

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 289]

Задача 108089

Темы:	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Фольклор

a и b – две данные стороны треугольника.
Как подобрать третью сторону c так, чтобы точки касания вписанной и вневписанной окружностей с этой стороной делили её на три равных отрезка?
При каких a и b такая сторона существует?
(Рассматривается вневписанная окружность, касающаяся стороны c и продолжений сторон a и b.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 116034

Темы:	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и пересекаются в точке O. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AOB и COD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BOC и DOA. Докажите, что
а) четырёхугольник ABCD – описанный;
б) четырёхугольник ABCD симметричен относительно одной из своих диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116698

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 3+
Классы: 11

Авторы: Ушаков В. Г., Панферов В.С.

В треугольнике ABC высоты или их продолжения пересекаются в точке H, а R – радиус его описанной окружности.
Докажите, что если ∠A ≤ ∠B ≤ ∠C, то AH + BH ≥ 2R.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98002

Темы:	[	Симметричная стратегия	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 7,8,9,10

Автор: Назаров Ф.

На некотором поле шахматной доски стоит фишка. Двое по очереди переставляют фишку, при этом на каждом ходу, начиная со второго, расстояние, на которое она перемещается, должно быть строго больше, чем на предыдущем ходу. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Фишка ставится всегда точно в центр каждого поля.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 98598

Темы:	[	Куб	]
	[	Свойства сечений	]
	[	Параллельность прямых и плоскостей	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Гальперин Г.А.

Некоторый куб рассекли плоскостью так, что в сечении получился пятиугольник.
Докажите, что длина одной из сторон этого пятиугольника отличается от 1 метра по крайней мере на 20 сантиметров.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 289]