Ненулевые числа a, b, c таковы, что каждые два из трёх уравнений  ax¹¹ + bx⁴ + c = 0,  bx¹¹ + cx⁴ + a = 0,  cx¹¹ + ax⁴ + b = 0  имеют общий корень. Докажите, что все три уравнения имеют общий корень.

   Решение

На плоскости задано n точек, являющихся вершинами выпуклого n-угольника,  n > 3.  Известно, что существует ровно k равносторонних треугольников со стороной 1, вершины которых – заданные точки.
  а) Докажите, что  k < ²ⁿ/₃.
  б) Приведите пример конфигурации, для которой  k > 0,666n.

   Решение

На доске нарисован выпуклый 2011-угольник. Петя последовательно проводит в нём диагонали так, чтобы каждая вновь проведённая диагональ пересекала по внутренним точкам не более одной из проведённых ранее диагоналей. Какое наибольшее количество диагоналей может провести Петя?

   Решение

Точка X, лежащая вне непересекающихся окружностей ω₁ и ω₂, такова, что отрезки касательных, проведённых из X к ω₁ и ω₂, равны. Докажите, что точка пересечения диагоналей четырёхугольника, образованного точками касания, совпадает с точкой пересечения общих внутренних касательных к ω₁ и ω₂.

   Решение

Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.

   Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 352]      

Продолжения равных хорд AB и CD окружности соответственно за точки B и C пересекаются в точке P.
Докажите, что треугольники APD и BPC равнобедренные.

Прислать комментарий

Решение

Квадрат ABCD со стороной 2 и квадрат DEFK со стороной 1 стоят рядом на верхней стороне AK квадрата AKLM со стороной 3. Между парами точек A и E, B и F, C и K, D и L натянуты паутинки. Паук поднимается снизу вверх по маршруту AEFB и спускается по маршруту CKDL. Какой маршрут короче?

Прислать комментарий

Решение

Прямоугольный лист бумаги согнули, совместив вершину с серединой противоположной короткой стороны (см. рис.). Оказалось, что треугольники I и II равны. Найдите длинную сторону прямоугольника, если короткая равна 8.

Прислать комментарий

Решение

На сторонах AC и BC треугольника ABC взяты точки C₁ и C₂. Докажите, что треугольник ABC равнобедренный, если треугольники ABC₁ и BAC₂ равны.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что у равнобедренного треугольника:
  а) биссектрисы, проведённые из вершин при основании, равны;
  б) медианы, проведённые из тех же вершин, также равны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 352]