Версия для печати
Убрать все задачи

---

Саша написал по кругу в произвольном порядке не более ста различных натуральных чисел, а Дима пытается угадать их количество. Для этого Дима сообщает Саше в некотором порядке несколько номеров, а затем Саша сообщает Диме в том же порядке, какие числа стоят под указанными Димой номерами, если считать числа по часовой стрелке, начиная с одного и того же числа. Сможет ли Дима заведомо угадать количество написанных Сашей чисел, сообщив
  а) 17 номеров;
  б) менее 16 номеров?

   Решение

Страница: << 249 250 251 252 253 254 255 >> [Всего задач: 1331]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 110926

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

На листке бумаги написаны натуральные числа от 1 до N. Игроки по очереди обводят в кружок одно число, соблюдая условие: любые два уже обведённых числа должны быть взаимно простыми. Два раза число обводить нельзя. Проигрывает тот, у кого нет хода.
  а) Кто – начинающий игру или ходящий вторым – победит при  N = 10?
  б) А при  N = 12?
  в) А при  N = 15?
  г) А при  N = 30?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115417

Темы:   [ Простые числа и их свойства ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Необычные конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Можно ли раскрасить натуральные числа в 2009 цветов так, чтобы каждый цвет встречался бесконечное число раз, и не нашлось тройки чисел, покрашенных в три различных цвета, таких, что произведение двух из них равно третьему?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116699

Темы:   [ Степень вершины ] [ Сочетания и размещения ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 4 Классы: 11

На собрание пришло n человек  (n > 1).  Оказалось, что у каждых двух из них среди собравшихся есть ровно двое общих знакомых.
  а) Докажите, что каждый из них знаком с одинаковым числом людей на этом собрании.
  б) Покажите, что n может быть больше 4.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 65835

Темы:   [ Инварианты ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

На доске можно либо написать две единицы, либо стереть любые два уже написанных одинаковых числа n и написать вместо них числа  n + 1  и  n – 1.  Какое минимальное количество таких операций требуется, чтобы получить число 2005? (Сначала доска была чистой.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 66840

Темы:   [ Функция Эйлера ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Формула включения-исключения ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

Некоторые из чисел 1, 2, 3, ..., $n$ покрашены в красный цвет так, что выполняется условие: если для красных чисел $a, b, c$ (не обязательно различных)  $a(b - c)$  делится на $n$, то  $b = c$.
Докажите, что красных чисел не больше чем φ($n$).

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 249 250 251 252 253 254 255 >> [Всего задач: 1331]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями