Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 234]

Задача 98234

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Числа Фибоначчи	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Обыкновенные дроби	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Токарев С.И.

Можно ли из последовательности 1, ½, ⅓, ... выбрать (сохраняя порядок)
а) сто чисел,
б) бесконечную подпоследовательность чисел,
из которых каждое, начиная с третьего, равно разности двух предыдущих (a_k = a_k–2 – a_k–1)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 107761

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Обратный ход	]
	[	Уравнения с модулями	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Шабат Г.Б.

Бесконечная последовательность чисел x_n определяется условиями: x_n+1 = 1 – |1 – 2x_n|, причём 0 ≤ x₁ ≤ 1.
Докажите, что последовательность, начиная с некоторого места, периодическая а) в том б) и только в том случае, когда x₁ рационально.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109727

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Агаханов Н.Х.

На доску последовательно выписываются числа a₁ = 1, a₂, a₃, ... по следующим правилам: a_n+1 = a_n – 2, если число a_n – 2 – натуральное и еще не выписано на доску, в противном случае a_n+1 = a_n + 3. Докажите, что все квадраты натуральных чисел появятся в этой последовательности при прибавлении 3 к предыдущему числу.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116876

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Функция f(x) такова, что для всех значений x выполняется равенство f(x + 1) = f(x) + 2x + 3. Известно, что f(0) = 1. Найдите f(2012).

Прислать комментарий

Решение

Задача 60578

[Формула Бине]

Темы:	[	Числа Фибоначчи	]
Темы:	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Докажите по индукции формулу Бине:

F_n = $\displaystyle {\dfrac{\varphi^n-\widehat{\varphi}^{n}}{\sqrt5}}$ ,

где $\varphi$ = ${\dfrac{1+\sqrt5}{2}}$ — ``золотое сечение'' или число Фидия, а $\widehat{\varphi}$ = ${\dfrac{1-\sqrt5}{2}}$ (``фи с крышкой'') — сопряженное к нему.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 234]