Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 5 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Можно ли в таблицу 9×9 расставить такие натуральные числа, что одновременно выполняются следующие условия:
  1) произведения чисел, стоящих в одной строке, одинаковы для всех строк;
  2) произведения чисел, стоящих в одном столбце, одинаковы для всех столбцов;
  3) среди чисел нет равных;
  4) все числа не больше 1991?

Вниз   Решение


В стране некоторые пары городов соединены односторонними прямыми авиарейсами (между любыми двумя городами есть не более одного рейса). Скажем, что город A доступен для города B, если из B можно долететь в A, возможно, с пересадками. Известно, что для любых двух городов P и Q существует город R, для которого и P, и Q доступны. Докажите, что существует город, для которого доступны все города страны. (Считается, что город доступен для себя.)

ВверхВниз   Решение


Школьник едет на олимпиаду на метро, платит рубль и получает сдачу. Доказать, что если он обратно поедет на трамвае, то он сможет уплатить за проезд без сдачи. (Проезд в метро стоил 50 коп., в трамвае – 30 коп. В обращении находились монеты достоинством в 1, 2, 3, 5, 10, 15 и 20 коп.)

ВверхВниз   Решение


Семиугольник разбит на выпуклые пяти- и шестиугольники, причём так, что каждая его вершина является вершиной по крайней мере двух многоугольников разбиения. Докажите, что число пятиугольников разбиения не меньше 13.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что  

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 1015]      



Задача 30711

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что из n предметов чётное число предметов можно выбрать 2n–1 способами.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30712

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 30713

Темы:   [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Целочисленные решетки (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Докажите, что каждое число a в треугольнике Паскаля равно
  а) сумме чисел предыдущей правой диагонали, начиная с самого левого вплоть до стоящего справа над числом a.
  б) сумме чисел предыдущей левой диагонали, начиная с самого правого вплоть до стоящего слева над числом a.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30781

Темы:   [ Степень вершины ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8

Докажите, что существует граф с 2n вершинами, степени которых равны 1, 1, 2, 2, ..., n, n.

Прислать комментарий     Решение

Задача 30787

Тема:   [ Деревья ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8

В графе все вершины имеют степень 3. Докажите, что в нём есть цикл.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 1015]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .