Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 418]

Задача 32015

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Количество и сумма делителей числа	]

Сложность: 3
Классы: 6,7,8

а) Назовите 10 первых натуральных чисел, имеющих нечётное число делителей (в число делителей включается единица и само число).

б) Попробуйте сформулировать и доказать правило, позволяющее найти следующие такие числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 32081

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Тождественные преобразования	]
	[	Простые числа и их свойства	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Пусть a и b – целые числа. Докажите, что если a² + 9ab + b² делится на 11, то и a² – b² делится на 11.

Прислать комментарий

Решение

Задача 32818

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

а) Можно ли разложить 20 монет достоинством в 1, 2, 3, ..., 19, 20 мунгу по трём карманам так, чтобы в каждом кармане оказалась одинаковая сумма денег?

б) А если добавить еще один тугрик? (Как известно, один тугрик равен ста мунгу.)

Прислать комментарий

Решение

Задача 34988

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Докажите, что ни при каком натуральном m число 1998^m – 1 не делится на 1000^m – 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35125

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Произведения и факториалы	]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

У натурального числа A ровно 100 различных делителей (включая 1 и A). Найдите их произведение.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 418]