ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Многочлены >> Квадратный трехчлен >> Квадратные уравнения. Теорема Виета
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 11 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Шаповалов А.В.

Остроугольный треугольник разбили медианой на два меньших треугольника.
Докажите, что каждый из них можно накрыть полукругом, равным половинке описанного круга исходного треугольника.

Вниз   Решение

В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD с основаниями BC и AD , причём BC=2AD . На рёбрах SA и SB взяты точки K и L , причём 2SK=KA и 3SL = LB . В каком отношении плоскость KLC делит ребро SD ?

ВверхВниз   Решение

а) Пусть A, B, C и D — произвольные точки плоскости. Докажите, что ($ \overrightarrow{AB}$,$ \overrightarrow{CD}$) + ($ \overrightarrow{BC}$,$ \overrightarrow{AD}$) + ($ \overrightarrow{CA}$,$ \overrightarrow{BD}$) = 0.
б) Докажите, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.

ВверхВниз   Решение

Автор: Казицына Т.В.

Таня вырезала из клетчатой бумаги треугольник, изображённый на рисунке. Через некоторое время линии сетки выцвели. Сможет ли Таня их восстановить, не пользуясь никакими инструментами, а только перегибая треугольник? (Длины сторон треугольника Таня помнит.)

ВверхВниз   Решение

На каждой из клеток доски размером 9×9 находится фишка. Петя хочет передвинуть каждую фишку на соседнюю по стороне клетку так, чтобы снова в каждой из клеток оказалось по одной фишке. Сможет ли Петя это сделать?

ВверхВниз   Решение

Художник-авангардист нарисовал картину "Контур квадрата и его диагонали".
Мог ли он нарисовать свою картину, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя одну линию дважды?

ВверхВниз   Решение

Среди поля проходит прямая дорога, по которой со скоростью 10 км/ч едет автобус. Укажите все точки на поле, из которых можно догнать автобус, если бежать с такой же скоростью.

ВверхВниз   Решение

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, а точка H обладает тем свойством, что $ \overrightarrow{OH}$ = $ \overrightarrow{OA}$ + $ \overrightarrow{OB}$ + $ \overrightarrow{OC}$. Докажите, что H — точка пересечения высот треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение

Автор: Васильев М.

В треугольнике ABC на сторонах AC, BC и AB отметили точки D, E и F соответственно, так, что  AD = AB,  EC = DC,  BF = BE.  После этого стёрли всё, кроме точек E, F и D. Восстановите треугольник ABC.

ВверхВниз   Решение

Докажите, что OH2 = R2(1 - 8 cos$ \alpha$cos$ \beta$cos$ \gamma$).

ВверхВниз   Решение

Авторы: Блинков А.Д., Шноль Д.Э.

Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось Ox в точках A и M, а ось Oy – в точке C. График другого пересекает ось Ox в точках B и M, а ось Oy – в точке D. (O – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники AOC и BOD подобны.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 80]      

  с решениями  

Задача 32897

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Прямые и плоскости в пространстве ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10,11

Авторы: Блинков А.Д., Шноль Д.Э.

Даны два приведённых квадратных трёхчлена. График одного из них пересекает ось Ox в точках A и M, а ось Oy – в точке C. График другого пересекает ось Ox в точках B и M, а ось Oy – в точке D. (O – начало координат; точки расположены как на рисунке.) Докажите, что треугольники AOC и BOD подобны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116488

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Аналитический метод в геометрии ]
Сложность: 3-
Классы: 9,10,11

Прямая пересекает график функции  y = x²  в точках с абсциссами x1 и x2, а ось абсцисс – в точке с абсциссой x3. Докажите, что    .

Прислать комментарий     Решение

Задача 116690

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3-
Классы: 10

Автор: Френкин Б.Р.

Алёша написал на доске пять целых чисел – коэффициенты и корни квадратного трёхчлена. Боря стёр одно из них. Остались числа 2, 3, 4, –5. Восстановите стёртое число.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60927

Тема:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Пусть x1, x2 — корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0 и Sn = x1n + x2n ( n $ \geqslant$ 0). Докажите формулу

aSm + bSm - 1 + cSm - 2 = 0,        (m $\displaystyle \geqslant$ 2).


Прислать комментарий     Решение

Задача 60932

Темы:   [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Методы решения задач с параметром ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

При каких p и q уравнению  x² + px + q = 0  удовлетворяют два различных числа 2p и  p + q?

Прислать комментарий     Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 80]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .