Версия для печати
Убрать все задачи

---

По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60⁰.

   Решение

---

Решить в натуральных числах уравнение:  

   Решение

---

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем  AC₁ = AB₁, BA₁ = BC₁ и CA₁ = CB₁. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами.

   Решение

---

Имеются три литровых банки и мерка объемом 100 мл. Первая банка пуста, во второй – 700 мл сладкого чая, в третьей – 800 мл сладкого чая. При этом во второй банке растворено 50 г сахара, а в третьей – 60 г сахара. Разрешается набрать из любой банки полную мерку чая и перелить весь этот чай в любую другую банку. Можно ли несколькими такими переливаниями добиться, чтобы первая банка была пуста, а количество сахара во второй банке равнялось количеству сахара в третьей банке?

   Решение

---

Докажите, что  2(x² + y²) ≥ (x + y)²  при любых x и y.

   Решение

---

Докажите, что если произведение двух положительных чисел больше их суммы, то сумма больше 4.

   Решение

---

Незнайка выписал семь двузначных чисел в порядке возрастания. Затем одинаковые цифры заменил одинаковыми буквами, а разные – разными. Получилось вот что: ХА, АЙ, АХ, ОЙ, ЭМ, ЭЙ, МУ. Докажите, что Незнайка что-то перепутал.

   Решение

---

Король Артур хочет заказать кузнецу новый рыцарский щит по своему эскизу. Король взял циркуль и нарисовал три дуги радиусом $1$ ярд так, как показано на рисунке. Чему равняется площадь щита? Ответ округлите до сотых. Напомним, что площадь круга радиуса $r$ равна $\pi r^2$, $\pi\approx 3,14$.

   Решение

---

  а) Докажите, что в таблице

где каждое число равно сумме трёх стоящих над ним чисел, в каждой строке (начиная с третьей) есть чётное число.
  б) В каждой ли строке (кроме первых двух) встречается число, кратное 3?

   Решение

---

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 25^o. Под каким углом виден каждый его катет из центра описанной окружности?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 789]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 52619

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 25^o. Под каким углом виден каждый его катет из центра описанной окружности?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52622

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Постройте равнобедренный треугольник по основанию и радиусу описанной окружности.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56830

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 2+ Классы: 7,8,9

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁, причем  AC₁ = AB₁, BA₁ = BC₁ и CA₁ = CB₁. Докажите, что A₁, B₁ и C₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 77937

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Неравенства для углов треугольника ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

В ABC вписана окружность, которая касается его сторон в точках L, M и N. Докажите, что LMN всегда остроугольный (независимо от вида ABC).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 52618

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 2+ Классы: 8,9

Пусть O - центр круга, описанного около треугольника ABC. Найдите угол OAC, если: а) B = 50^o; б) B = 126^o.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 789]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями