Найдите углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 173]      

Пусть O – точка пересечения диагоналей выпуклого четырёхугольника ABCD.
Докажите, что если равны периметры треугольников ABO, BCO, CDO, DAO, то ABCD – ромб.

Подсказка

Если  AO > OC,  BO > OD,  то треугольник ABO покрывает треугольник CDO.

Решение

Выберем на каждой диагонали AC, BD больший из отрезков, на которые она делится точкой O. Можно без ограничения общности считать, что  AO > OC,  BO > OD.  Тогда периметр треугольника AOB не меньше периметра треугольника COD, причём равенство возможно только если  AO = OC  и  BO = OD  (построим треугольник A'OB', симметричный треугольнику AOB относительно точки O, его периметр не меньше периметра треугольника COD, поскольку  CA' + A'B' + B'D > CD).  Но если  AO = OC  и  BO = OD,  то из равенства периметров сразу следует, что  AB = BC = CD = DA,  то есть ABCD – ромб.

Прислать комментарий

Диагонали ромба равны 24 и 70. Найдите сторону ромба.

Подсказка

Воспользуйтесь свойствами диагоналей ромба.

Решение

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Сторона ромба – гипотенуза прямоугольного треугольника, катеты которого – половины диагоналей. По теореме Пифагора  a² = 12² + 35² = 37².

Ответ

37.

Прислать комментарий

Найдите диагонали ромба, если они относятся как  3 : 4,  а периметр равен 1.

Подсказка

Воспользуйтесь свойствами диагоналей ромба.

Решение

Пусть  AC = 8x,  BD = 6x – диагонали ромба ABCD. Тогда  AD = 5x,  а периметр ромба равен 20x, откуда  x = ¹/₂₀.

Ответ

³/₁₀ и ²/₅.

Прислать комментарий

В ромб вписана окружность. На какие четыре части она делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37^o?

Подсказка

Угол между радиусами, проведёнными в точки касания, дополняет угол между касательными до 180^o.

Решение

Угол между радиусами, проведёнными в точки касания со сторонами, образующими острый угол данного ромба, равен

Ответ

143o, 37o, 143o, 37o.

Прислать комментарий

Найдите углы ромба, если высота, проведённая из вершины тупого угла, делит противолежащую сторону пополам.

Подсказка

Диагональ данного ромба разбивает его на два равносторонних треугольника.

Решение

Пусть BK — указанная высота ромба ABCD, опущенная на сторону AD, AK = KD.

Поскольку высота треугольника ABD, проведённая из вершины B, является медианой, то треугольник ABD — равнобедренный, AB = BD. Следовательно, треугольник ABD — равносторонний, BAD = 60^o. Тогда

ABC = 180^o - 60^o = 120^o.

Ответ

60^o, 120^o.

Прислать комментарий

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 173]