Версия для печати
Убрать все задачи

---

Двое играют в такую игру. Один задумывает натуральное число n, а другой задаёт вопросы типа «верно ли, что n не меньше x» (число x он может выбирать по своему усмотрению) и получает ответы «да» или «нет». Каждой возможной стратегии T второго игрока сопоставим функцию f_T(n), равную числу вопросов (до отгадывания), если было задумано число n. Пусть, например, стратегия T состоит в том, что сначала задают вопросы: «верно ли, что n не меньше 10?», «верно ли, что n не меньше 20?», ... до тех пор, пока на какой-то вопрос «верно ли, что n не меньше 10(k + 1)» не будет дан ответ «нет», а затем задают вопросы «верно ли, что n не меньше 10k + 1», «верно ли, что n не меньше 10k + 2» и так далее. Тогда f_T(n) = a + 2 + ^{(n – a)}/₁₀, где a — последняя цифра числа n, то есть f_T(n) растёт примерно как ⁿ/₁₀.

а) Предложите стратегию, для которой функция f_T растёт медленнее.

б) Сравнивая две стратегии, удобно для произвольной стратегии Т вместо функции f_T ввести функцию f_T, значение которой для любого натурального числа n равно наибольшему из чисел f_T(k), где k пробегает значения от 1 до n. Оцените снизу f_T для произвольной стратегии T.

   Решение

---

Сторона треугольника равна a. Найдите отрезок, соединяющий середины медиан, проведённых к двум другим сторонам.

   Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 53994

Темы:   [ Касающиеся окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Докажите, что линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 54135

Темы:   [ Средняя линия треугольника ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Сторона треугольника равна a. Найдите отрезок, соединяющий середины медиан, проведённых к двум другим сторонам.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55202

Темы:   [ Трапеции (прочее) ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Средняя линия треугольника ] [ Неравенства с векторами ] [ Средняя линия трапеции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Отрезок, соединяющий середины двух противоположных сторон выпуклого четырёхугольника, равен полусумме двух других сторон.
Докажите, что этот четырёхугольник – трапеция или параллелограмм.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55762

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На каждом из оснований AD и BC трапеции ABCD построены вне трапеции равносторонние треугольники.
Докажите, что отрезок, соединяющий третьи вершины этих треугольников, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55763

Темы:   [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Трапеции (прочее) ] [ Гомотетичные многоугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На основаниях трапеции как на сторонах построены во внешнюю сторону два квадрата. Докажите, что отрезок, соединяющий центры квадратов, проходит через точку пересечения диагоналей трапеции.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями