Каталог по темам

Задачи

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 258]

Задача 115770

Темы:	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Выпуклый многоугольник описан около окружности. Точки касания его сторон с окружностью образуют многоугольник с таким же набором углов (порядок углов может быть другим). Верно ли, что многоугольник правильный?

Прислать комментарий

Решение

Задача 115857

Темы:	[	Формулы для площади треугольника	]
	[	Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Швецов Д.В.

Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство

Прислать комментарий

Решение

Задача 30928

Темы:	[	Квадратичные неравенства (несколько переменных)	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Неравенство Коши	]

Сложность: 4-
Классы: 6,7

Докажите, что если x + y + z ≥ xyz, то x² + y² + z² ≥ xyz.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55238

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

В треугольник с периметром 2p вписана окружность. К этой окружности проведена касательная, параллельная стороне треугольника. Найдите наибольшую возможную длину отрезка этой касательной, заключённого внутри треугольника.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64319

[Неравенство Птолемея]

Темы:	[	Длины и периметры (геометрические неравенства)	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Классические неравенства (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Фольклор

Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство AB·CD + AC·BD > AD·BC.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 258]