Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Преобразования плоскости
>>
Движения
>>
Осевая и скользящая симметрии
>>
Композиции симметрий
Фильтр
Выбрано 15 задач Убрать все задачи
Существует ли степень двойки, из которой перестановкой цифр можно получить другую степень двойки?
Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.
Доказать, что при любом целом положительном n сумма
больше ½.
В последовательности 19752... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр. Встретится ли в этой последовательности:
а) набор цифр 1234; 3269; б) вторично набор 1975; в) набор 8197?
Из точки M описанной окружности треугольника ABC опущены
перпендикуляры MP и MQ на прямые AB и AC. При каком
положении точки M длина отрезка PQ максимальна?
Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.
Решить в целых числах уравнение x + y = x² – xy + y².
Дан треугольник ABC. Найдите на прямой AB точку M, для которой
сумма радиусов описанных окружностей треугольников ACM и BCM
была бы наименьшей.
Имеется 120-значное число. Его первые 12 цифр переставляются всеми возможными способами. Из полученных таким образом 120-значных чисел наугад выбирают 120 чисел. Доказать, что их сумма делится на 120.
Некоторое количество точек расположено на плоскости так, что каждые 3 из них можно заключить в круг радиуса r = 1. Доказать, что тогда и все точки можно заключить в круг радиуса 1.
Можно ли разместить в пространстве четыре свинцовых шара и точечный источник света так, чтобы каждый исходящий из источника света луч пересекал хотя бы один из шаров?
В некотором государстве города соединены дорогами. Длина каждой дороги меньше 500 км, и из каждого города в любой другой можно попасть, проехав по дорогам меньше 500 км. Когда одна дорога оказалась закрытой на ремонт, выяснилось, что из каждого города можно проехать по оставшимся дорогам в любой другой. Доказать, что при этом можно проехать меньше 1500 км.
а) В квадрате площади 6 расположены три многоугольника площади 3. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1.
б) В квадрате площади 5 расположено девять многоугольников площади 1. Докажите, что среди них найдутся два многоугольника,
площадь общей части которых не меньше 1/9.
На плоскости нарисовано 12 прямых, проходящих через точку О. Докажите, что можно выбрать две из них так, что угол между ними будет меньше 17 градусов.
Прямые l и m пересекаются в точке O, прямые l1 и m1 получены из прямых l и m поворотом на некоторый угол относительно точки O. Докажите, что композиция симметрий относительно l и m и композиция симметрий относительно l1 и m1 — одно и то же преобразование.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]
Задача 57888 |
|
|
а) Прямые l1 и l2 параллельны. Докажите, что
Sl1oSl2 = T2a, где
Ta — параллельный перенос,
переводящий l1 в l2, причем
a l1.
б) Прямые l1 и l2 пересекаются в точке O. Докажите,
что
Sl2oSl1 = R2O, где
R
O —
поворот, переводящий l1 в l2.
|
|
Решение |
Задача 55653 |
|
|
На плоскости дан угол, равный , с вершиной в точке O. Докажите, что
композиция симметрий относительно сторон угла является поворотом
вокруг точки O на угол 2
.
|
|
|
Решение |
Задача 55660 |
|
|
На плоскости даны точки O, M и прямая l, проходящая через
точку O. Прямую l повернули вокруг точки O против часовой стрелки
на угол , получив прямую l1. Докажите, что точка, симметричная
точке M относительно прямой l1, получается из точки, симметричной
точке M относительно прямой l, поворотом вокруг точки O против
часовой стрелки на угол 2
.
|
|
|
Решение |
Задача 55661 |
|
|
Прямые l и m пересекаются в точке O, прямые l1 и m1 получены из прямых l и m поворотом на некоторый угол относительно точки O. Докажите, что композиция симметрий относительно l и m и композиция симметрий относительно l1 и m1 — одно и то же преобразование.
|
|
Решение |
Задача 55664 |
|
|
Докажите, что композиция двух симметрий относительно параллельных прямых есть параллельный перенос в направлении, перпендикулярном к этим прямым, на величину, равную удвоенному расстоянию между ними.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]
