Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
При каких n многочлен (x + 1)n – xn – 1 делится на:
а) x² + x + 1; б) (x² + x + 1)²; в) (x² + x + 1)³?
Докажете, что в звезде, изображенной на картинке, не могут быть выполнены одновременно неравенства BC > AB, DE > CD, FG > EF, HK > GH, LA > KL.
Найти все прямоугольники, которые можно разрезать на 13 равных квадратов.
В треугольнике ABC отношение стороны BC к стороне AC равно
3, а
ACB =
. Из вершины C проведены два луча,
делящие угол ACB на три равные части. Найдите отношение отрезков
этих лучей, заключённых внутри треугольника ABC.
Плоский многоугольник A1A2...An составлен из n твёрдых стержней, соединенных шарнирами. Доказать, что если n > 4, то его можно деформировать в треугольник.
Многоугольник, описанный около окружности радиуса r,
разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма
радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.
При каких A и B многочлен Axn+1 + Bxn + 1 имеет число x = 1 не менее чем двукратным корнем?
Длины сторон треугольника образуют арифметическую
прогрессию. Докажите, что радиус вписанной окружности
равен трети одной из высот треугольника.
Прямые AP, BP и CP пересекают прямые BC, CA
и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точки A2, B2
и C2 выбраны на прямых BC, CA и AB так, что
:
=
:
,
:
=
:
и
:
=
:
.
Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 тоже пересекаются в одной
точке Q (или параллельны).
Задачи Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 181]
Задача 56918 |
|
|
Прямые AP, BP и CP пересекают стороны
треугольника ABC (или их продолжения) в точках A1, B1 и C1.
Докажите, что:
а) прямые, проходящие через середины сторон BC, CA и AB параллельно
прямым AP, BP и CP, пересекаются в одной точке;
б) прямые, соединяющие середины сторон BC, CA и AB с серединами
отрезков AA1, BB1 и CC1, пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 56919 |
|
|
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC
взяты точки A1, B1 и C1 так, что отрезки AA1, BB1 и CC1
пересекаются в одной точке. Прямые A1B1 и A1C1 пересекают
прямую, проходящую через вершину A параллельно стороне BC, в
точках C2 и B2 соответственно. Докажите, что AB2 = AC2.
|
|
|
Решение |
Задача 56920 |
|
|
а) Пусть
,
и
— произвольные углы, причем
сумма любых двух из них меньше
180o. На сторонах
треугольника ABC внешним образом построены треугольники
A1BC, AB1C
и ABC1, имеющие при вершинах A, B и C углы
,
и
.
Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников,
построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.
|
|
|
Решение |
Задача 56921 |
|
|
Стороны BC, CA и AB треугольника ABC касаются
окружности с центром O в точках A1, B1 и C1. На
лучах OA1, OB1 и OC1 отложены равные отрезки OA2, OB2
и OC2. Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 пересекаются в
одной точке.
|
|
|
Решение |
Задача 56922 |
|
|
Прямые AP, BP и CP пересекают прямые BC, CA
и AB в точках A1, B1 и C1 соответственно. Точки A2, B2
и C2 выбраны на прямых BC, CA и AB так, что
:
=
:
,
:
=
:
и
:
=
:
.
Докажите, что прямые AA2, BB2 и CC2 тоже пересекаются в одной
точке Q (или параллельны).
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 181]
