Постройте вписанно-описанный четырёхугольник по двум противоположным вершинам и центру вписанной окружности.

   Решение

Любую конечную систему точек плоскости можно покрыть несколькими непересекающимися кругами, сумма диаметров которых меньше количества точек и расстояние между любыми двумя из которых больше 1. Докажите это.

Расстояние между двумя кругами — это расстояние между их ближайшими точками.

   Решение

Общие внешние касательные к парам окружностей S₁ и S₂, S₂ и S₃, S₃ и S₁ пересекаются в точках A, B и C соответственно. Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

   Решение

Какое слагаемое в разложении  (1 + )¹⁰⁰  по формуле бинома Ньютона будет наибольшим?

   Решение

Постройте четырехугольник ABCD, в который можно вписать окружность, зная длины двух соседних сторон AB и AD и углы при вершинах B и D.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте квадрат по четырём точкам, лежащим на четырёх его сторонах.

   Решение

С помощью циркуля и линейки проведите прямую, параллельную основаниям трапеции, так, чтобы отрезок этой прямой внутри трапеции делился бы диагоналями на три равные части.

   Решение

Постройте четырехугольник по углам и диагоналям.

   Решение

Пусть A₁, B₁,..., F₁ — середины сторон AB, BC,..., FA произвольного шестиугольника. Докажите, что точки пересечения медиан треугольников A₁C₁E₁ и B₁D₁F₁ совпадают.

   Решение

n отрезков A₁ B₁ , A₂ B₂ , ... , A_n B_n (рис. 5) расположены на плоскости так, что каждый из них начинается на одной из двух данных прямых, оканчивается на другой прямой, и проходит через точку G (не лежащую на данных прямых) — центр тяжести единичных масс, помещенных в точках A₁ , A₂ , ... , A_n . Докажите, что

++...+=n.

   Решение

Постройте вписанный четырехугольник по четырем сторонам (Брахмагупта).

   Решение

В каждой клетке таблицы размером 4×4 стоит знак "+" или "–". Разрешено одновременно менять знаки на противоположные в любой клетке и во всех клетках, имеющих с ней общую сторону. Сколько разных таблиц можно получить, многократно применяя такие операции?

   Решение

Пусть ABCD — выпуклый четырёхугольник. Докажите, что если периметр треугольника ABD меньше периметра треугольника ACD, то AB < AC.

   Решение

В треугольнике ABC известно, что BAC = 75^o, AB = 1, AC = . На стороне BC выбрана точка M, причём BAM = 30^o. Прямая AM пересекает окружность, описанную около треугольника ABC, в точке N, отличной от A. Найдите AN.

   Решение

Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. И начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. С вероятностью ¼ на месте срубленной головы вырастает две новых, с вероятностью ⅓ – только одна новая голова и с вероятностью ⁵/₁₂ – ни одной головы. Змей считается побеждённым, если у него не осталось ни одной головы. Найдите вероятность того, что рано или поздно Илья победит Змея.

   Решение

Постройте выпуклый четырехугольник, если даны длины всех его сторон и одной средней линии (средней линией четырехугольника называют отрезок, соединяющий середины противоположных сторон).

   Решение

Пусть дан выпуклый (2n + 1)-угольник  A₁A₃A₅...A_{2n + 1}A₂...A_2n. Докажите, что среди всех замкнутых ломаных с вершинами в его вершинах наибольшую длину имеет ломаная  A₁A₂A₃...A_{2n + 1}A₁.

   Решение

Число e определяется равенством    Докажите, что

а)  

б)    где  0 < r_n ≤ 1/_n!n;

в)  e – иррациональное число.

   Решение

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше: а) 1/4; б) 3/8.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]      

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше: а) 1/4; б) 3/8.

Прислать комментарий

Решение

Выпуклый n-угольник помещен в квадрат со стороной 1. Докажите, что найдутся три такие вершины A, B и C этого n-угольника, что площадь треугольника ABC не превосходит: а) 8/n²; б) 16/n³.

Прислать комментарий

Решение

В квадратной песочнице, засыпанной ровным слоем песка высотой 1, Маша и Паша делали куличи при помощи цилиндрического ведёрка высоты 2. У Маши все куличи удались, а у Паши — рассыпались и превратились в конусы той же высоты. В итоге весь песок ушёл на куличи, поставленные на дне песочницы отдельно друг от друга. Чьих куличей оказалось в песочнице больше: Машиных или Пашиных?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что внутри выпуклого многоугольника можно поместить его образ при гомотетии с коэффициентом – ½.

Прислать комментарий

Решение

Клетчатый квадрат 2×2 накрыт двумя треугольниками. Обязательно ли
  а) хоть одна из четырёх его клеток целиком накрыта одним из этих треугольников;
  б) в один из этих треугольников можно поместить квадрат со стороной 1?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 31]