Точки $P$, $Q$ лежат внутри окружности $\omega$. Серединный перпендикуляр к отрезку $PQ$ пересекает $\omega$ в точках $A$ и $D$. Окружность с центром $D$, проходящая через $P$ и $Q$, пересекает $\omega$ в точках $B$ и $C$. Отрезок $PQ$ лежит внутри треугольника $ABC$. Докажите, что $\angle ACP = \angle BCQ$.

   Решение

В пирамиде ABCD двугранные углы с рёбрами AB , BC и CA равны α1 , α2 и α3 соответственно, а площади треугольников ABD , BCD и CAD равны соответственно S1 , S2 и S3 . Площадь треугольника ABC равна S . Докажите, что S = S1 cos α1 + S2 cos α2 + S3 cos α3 (некоторые из углов α1 , α2 и α3 могут быть тупыми).

   Решение

Найдите все действительные корни уравнения   (x + 1)²¹ + (x + 1)²⁰(x – 1) + (x + 1)¹⁹(x – 1)² + ... + (x – 1)²¹ = 0.

   Решение

Укажите все пары  (x; y),  для которых выполняется равенство   (x⁴ + 1)(y⁴ + 1) = 4x²y².

   Решение

Докажите, что  4S = (a² - (b - c)²)ctg(/2).

   Решение

Известно, что если у правильного $N$-угольника, находящегося внутри окружности, продлить все стороны до пересечения с этой окружностью, то $2N$ добавленных к сторонам отрезков можно разбить на две группы с одинаковой суммой длин.

А верно ли аналогичное утверждение для находящегося внутри сферы

а) произвольного куба;

б) произвольного правильного тетраэдра?

(Каждое ребро продлевают в обе стороны до пересечения со сферой. В итоге к каждому ребру добавляется по отрезку с обеих сторон. Требуется покрасить каждый из них либо в красный, либо в синий цвет, чтобы сумма длин красных отрезков была равна сумме длин синих.)

   Решение

В озере растут лотосы. За сутки каждый лотос делится пополам, и вместо одного лотоса появляются два. Ещё через сутки каждый из получившихся лотосов делится пополам и так далее. Через 30 суток озеро полностью покрылось лотосами. Через какое время озеро было заполнено наполовину?

   Решение

Глава Монетного двора хочет выпустить монеты 12 номиналов (каждый – в натуральное число рублей) так, чтобы любую сумму от 1 до 6543 рублей можно было заплатить без сдачи, используя не более 8 монет. Сможет ли он это сделать?
(При уплате суммы можно использовать несколько монет одного номинала.)

   Решение

Числа a, b и c отличны от нуля и выполняются равенства:  a + ^b/_c = b + ^c/_a = c + ^a/_b = 1.  Докажите, что  ab + bc + ca = 0.

   Решение

а) Найдите производящую функцию последовательности чисел Люка (определение чисел Люка смотри в задаче 60585)

б) Пользуясь этой функцией, выразите L_n через φ и (см. задачу 61502).

   Решение

Из медиан треугольника с углами  , и  составлен треугольник с углами  , и  (угол  лежит против медианы AA₁ и т. д.) Докажите, что если  > > , то  > , > , > > , > и  > .

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]      

Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что треугольник A₁B₁C₁ остроугольный.

Прислать комментарий

Решение

Из медиан треугольника с углами  , и  составлен треугольник с углами  , и  (угол  лежит против медианы AA₁ и т. д.) Докажите, что если  > > , то  > , > , > > , > и  > .

Прислать комментарий

Решение

При каких натуральных n для любых чисел α , β , γ , являющихся величинами углов остроугольного треугольника, справедливо неравенство

Прислать комментарий

Решение

В ABC вписана окружность, которая касается его сторон в точках L, M и N. Докажите, что LMN всегда остроугольный (независимо от вида ABC).

Прислать комментарий

Решение

Для каждой вершины треугольника ABC нашли угол между высотой и биссектрисой, проведёнными из этой вершины. Оказалось, что эти углы в вершинах A и B равны друг другу и меньше, чем угол в вершине C. Чему равен угол C треугольника?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 34]