На сторонах AB, BC, CD, DA параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M, N, K, L, делящие эти стороны в одном и том же отношении (при обходе по часовой стрелке). Докажите, что при пересечении прямых AN, BK, CL и DM получится параллелограмм, причём его центр совпадает с центром параллелограмма ABCD.

   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Отрезки BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что если + + = , то AB₁ : B₁C = CA₁ : A₁B = BC₁ : C₁A.

   Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]      

Докажите, что точка X лежит на прямой AB тогда и только тогда, когда = t + (1 - t) для некоторого t и любой точки O.

Прислать комментарий

Решение

Дано несколько точек и для некоторых пар (A, B) этих точек взяты векторы , причем в каждой точке начинается столько же векторов, сколько в ней заканчивается. Докажите, что сумма всех выбранных векторов равна  .

Прислать комментарий

Решение

Точки A и B движутся по двум фиксированным лучам с общим началом O так, что величина + остается постоянной. Докажите, что прямая AB при этом проходит через фиксированную точку.

Прислать комментарий

Решение

Через точку M пересечения медиан треугольника ABC проведена прямая, пересекающая прямые BC, CA и AB в точках A₁, B₁ и C₁. Докажите, что (1/) + (1/) + (1/) = 0 (отрезки MA₁, MB₁ и MC₁ считаются ориентированными).

Прислать комментарий

Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC взяты точки A₁, B₁ и C₁. Отрезки BB₁ и CC₁, CC₁ и AA₁, AA₁ и BB₁ пересекаются в точках A₂, B₂ и C₂ соответственно. Докажите, что если + + = , то AB₁ : B₁C = CA₁ : A₁B = BC₁ : C₁A.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 41]