ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Геометрия >> Комбинаторная геометрия
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 2 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Белкин А.

В центре квадрата находится полицейский, а в одной из его вершин – гангстер. Полицейский может бегать по всему квадрату, а гангстер – только по его сторонам. Известно, что отношение максимальной скорости полицейского и максимальной скорости гангстера равно:   а) 0,5;   б) 0,49;   в) 0,34;   г) ⅓.   Сможет ли полицейский может бежать так, что в какой-то момент окажется на одной стороне с гангстером?

Вниз   Решение

а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  ($ \alpha^{-1}_{}$ : $ \beta^{-1}_{}$ : $ \gamma^{-1}_{}$) изотомически сопряжены относительно треугольника ABC.
б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c. Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  (a2/$ \alpha$ : b2/$ \beta$ : c2/$ \gamma$) изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 170 171 172 173 174 175 176 >> [Всего задач: 1371]      

  с решениями  

Задача 57787

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

а) Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  ($ \alpha^{-1}_{}$ : $ \beta^{-1}_{}$ : $ \gamma^{-1}_{}$) изотомически сопряжены относительно треугольника ABC.
б) Длины сторон треугольника ABC равны a, b и c. Докажите, что точки с барицентрическими координатами ($ \alpha$ : $ \beta$ : $ \gamma$) и  (a2/$ \alpha$ : b2/$ \beta$ : c2/$ \gamma$) изогонально сопряжены относительно треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57788

Тема:   [ Барицентрические координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Две прямые заданы в барицентрических координатах уравнениями a1$ \alpha$ + b1$ \beta$ + c1$ \gamma$ = 0 и a2$ \alpha$ + b2$ \beta$ + c2$ \gamma$ = 0.
а) Докажите, что точка пересечения этих прямых имеет барицентрические координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right.$$\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ : $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$$\displaystyle \left.\vphantom{\begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatr... ..._2 \end{vmatrix}: \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}}\right)$.


б) Докажите, что эти прямые параллельны тогда и только тогда, когда

$\displaystyle \begin{vmatrix}b_1 & c_1 \\ b_2 & c_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}c_1 & a_1 \\ c_2 & a_2 \end{vmatrix}$ + $\displaystyle \begin{vmatrix}a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \end{vmatrix}$ = 0.


Прислать комментарий     Решение

Задача 57797

Тема:   [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

На сторонах AD и DC выпуклого четырехугольника ABCD взяты точки P и Q так, что $ \angle$ABP = $ \angle$CBQ. Отрезки AQ и CP пересекаются в точке E. Докажите, что $ \angle$ABE = $ \angle$CBD.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57800

Тема:   [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Найдите уравнения в трилинейных координатах для: а) описанной окружности; б) вписанной окружности; в) вневписанной окружности.
Прислать комментарий     Решение

Задача 57801

Тема:   [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 6
Классы: 9,10

Найдите уравнение окружности девяти точек в трилинейных координатах.
Прислать комментарий     Решение

Страница: << 170 171 172 173 174 175 176 >> [Всего задач: 1371]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам