Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 298]

Задача 57792

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

Прямая l проходит через точку X с барицентрическими координатами ( $\alpha$ : $\beta$ : $\gamma$ ). Пусть d_a, d_b, d_c — расстояния от вершин A, B, C до прямой l с учетом знака (для точек, лежащих по разные стороны от прямой l, знаки разные). Докажите, что d_a $\alpha$ + d_b $\beta$ + d_c $\gamma$ = 0.

Прислать комментарий Решение

Задача 57799

Тема:

[

Трилинейные координаты

]

Сложность: 6+
Классы: 9,10

На сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.

Прислать комментарий Решение

Задача 58290

Тема:

[

Системы точек

]

Сложность: 6+
Классы: 8,9

Докажите, что для любого натурального N существует N точек, никакие три из которых не лежат на одной прямой и все попарные расстояния между которыми являются целыми числами.

Прислать комментарий Решение

Задача 57793

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прямая l касается вписанной окружности треугольника ABC. Пусть $\delta_{a}^{}$ , $\delta_{b}^{}$ , $\delta_{c}^{}$ — расстояния от прямой l до точек A, B, C с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что a $\delta_{a}^{}$ + b $\delta_{b}^{}$ + c $\delta_{c}^{}$ = 2S_ABC.

Прислать комментарий Решение

Задача 57794

Тема:

[

Барицентрические координаты

]

Сложность: 7
Классы: 9,10

Прямая l касается вневписанной окружности треугольника ABC, касающейся стороны BC. Пусть $\delta_{a}^{}$ , $\delta_{b}^{}$ , $\delta_{c}^{}$ — расстояния от прямой l до точек A, B, C с учетом знака (расстояние положительно, если точка и центр вневписанной окружности лежат по одну сторону от прямой l; в противном случае расстояние отрциательно). Докажите, что - a $\delta_{a}^{}$ + b $\delta_{b}^{}$ + c $\delta_{c}^{}$ = 2S_ABC.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 298]