Каталог по темам

Выбрано 9 задач

Окружность, построенная на биссектрисе AD треугольника ABC как на диаметре, пересекает стороны AB и AC соответственно в точках M и N, отличных от A. Докажите, что AM = AN.

Решение

В ромб, одна из диагоналей которого равна 20 см, вписан круг радиуса 6 см. Вычислите площадь части ромба, расположенной вне круга. Будет ли эта площадь больше 36 см² ? (Ответ обосновать.)

Решение

Биссектриса внутреннего угла при вершине A и биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекаются в точке M.
Найдите ∠BMC, если ∠BAC = 40°.

Решение

На доске написано несколько положительных чисел, каждое из которых равно полусумме остальных. Сколько чисел написано на доске?

Решение

Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна a и составляет с одной гранью угол 30^o, а с другой 45^o. Найдите его объем.

Решение

На сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники ABC₁, AB₁C и A₁BC. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.

Решение

Радиус окружности равен 13, хорда равна 10. Найдите её расстояние от центра.

Решение

Чемпионат России по шахматам проводится в один круг. Сколько играется партий, если участвуют 18 шахматистов?

Решение

Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем $\angle$ AKB = 90^o. Докажите, что AB = 2R.

Решение

Задача 57807

Задача 57808

Задача 57809

Задача 57810

Задача 57833