Барон Мюнхаузен утверждает, что пустил шар от борта бильярда, имеющего форму правильного треугольника, так, что тот, отражаясь от бортов, прошёл через некоторую точку три раза в трёх различных направлениях и вернулся в исходную точку. Могут ли слова барона быть правдой? (Отражение шара от борта происходит по закону "угол падения равен углу отражения".)

   Решение

В треугольнике ABC угол при вершине B равен , а отрезки, соединяющие центр вписанной окружности с вершинами A и C, равны 4 и 6 соответственно. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

   Решение

Трое сумасшедших маляров принялись красить пол каждый в свой цвет. Один успел закрасить красным 75% пола, другой зелёным – 70%, третий синим – 65%. Какая часть пола заведомо закрашена всеми тремя красками?

   Решение

Стороны треугольника ABC видны из точки T под углами 120°.
Докажите, что прямые, симметричные прямым AT, BT и CT относительно прямых BC, CA и AB соответственно, пересекаются в одной точке.

   Решение

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что он имеет центр симметрии.

   Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 9776]      

Две окружности радиуса R касаются в точке K. На одной из них взята точка A, на другой — точка B, причем AKB = 90^o. Докажите, что AB = 2R.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности радиуса R пересекаются в точках M и N. Пусть A и B — точки пересечения серединного перпендикуляра к отрезку MN с этими окружностями, лежащие по одну сторону от прямой MN. Докажите, что MN² + AB² = 4R².

Прислать комментарий

Решение

Внутри прямоугольника ABCD взята точка M. Докажите, что существует выпуклый четырехугольник с перпендикулярными диагоналями длины AB и BC, стороны которого равны AM, BM, CM, DM.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что при центральной симметрии окружность переходит в окружность.

Прислать комментарий

Решение

Противоположные стороны выпуклого шестиугольника попарно равны и параллельны. Докажите, что он имеет центр симметрии.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 9776]