Каталог по темам

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 207]

Задача 58127

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6
Классы: 8,9

Докажите, что если выпуклая фигура $\Phi$ отлична от круга, то существует фигура $\Phi{^\prime}$ , имеющая тот же периметр, что и $\Phi$ , но большую площадь.

Прислать комментарий Решение

Задача 58133

Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости)	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10,11

Докажите, что симметризация по Штейнеру выпуклого многоугольника является выпуклым многоугольником.

Прислать комментарий Решение

Задача 58137

Тема:

[

Сумма Минковского

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Пусть S₁ и S₂ — площади многоугольников M₁ и M₂. Докажите, что площадь S( $\lambda_{1}^{}$ , $\lambda_{2}^{}$ ) многоугольника $\lambda_{1}^{}$ M₁ + $\lambda_{2}^{}$ M₂ равна

$\displaystyle \lambda_{1}^{2}$ S₁ + 2 $\displaystyle \lambda_{1}^{}$ $\displaystyle \lambda_{2}^{}$ S₁₂ + $\displaystyle \lambda_{2}^{2}$ S₂,

где S₁₂ зависит только от M₁ и M₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58141

Тема:

[

Теорема Хелли

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

а) На плоскости даны четыре выпуклые фигуры, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что тогда и все они имеют общую точку.
б) На плоскости дано n выпуклых фигур, причем любые три из них имеют общую точку. Докажите, что все n фигур имеют общую точку (теорема Хелли).

Прислать комментарий Решение

Задача 58157

Тема:

[

Невыпуклые многоугольники

]

Сложность: 6
Классы: 9,10

Чему равно наибольшее число острых углов в невыпуклом n-угольнике?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 207]