Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Точка O лежит на отрезке AB, причём AO = 13, OB = 7. С центром в точке O проведена окружность радиуса 5. Из A и B к ней проведены касательные, пересекающиеся в точке M, причём точки касания лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника AMB.

Вниз   Решение


Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.

ВверхВниз   Решение


Пусть M и N — середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P — точка пересечения отрезков AM и BN.
а) Найдите величину угла между прямыми AM и BN.
б) Докажите, что SABP = SMDNP.

ВверхВниз   Решение


Числовая последовательность  A1, A2, ..., An, ...  определена равенствами   A1 = 1,   A2 = – 1,   An = – An–1 – 2An–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 233]      



Задача 98194

Темы:   [ Числа Фибоначчи ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Взвешивания ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Звонкин Д.

Требуется сделать набор гирек, каждая из которых весит целое число граммов, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 до 55 граммов включительно даже в том случае, если некоторые гирьки потеряны (гирьки кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Рассмотрите два варианта задачи:
  а) необходимо подобрать 10 гирек, из которых может быть потеряна любая одна;
  б) необходимо подобрать 12 гирек, из которых могут быть потеряны любые две.

Прислать комментарий     Решение

Задача 110036

Темы:   [ Последовательности (прочее) ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Ограниченность, монотонность ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

По данному натуральному числу a0 строится последовательность {an} следующим образом     если an нечётно, и a0/2, если an чётно. Докажите, что при любом нечётном  a0 > 5  в последовательности {an} встретятся сколь угодно большие числа.

Прислать комментарий     Решение

Задача 32082

Темы:   [ Числа Каталана ]
[ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Системы точек и отрезков (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60280

Темы:   [ Индукция (прочее) ]
[ Рекуррентные соотношения ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Числовая последовательность  A1, A2, ..., An, ...  определена равенствами   A1 = 1,   A2 = – 1,   An = – An–1 – 2An–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60601

Темы:   [ Цепные (непрерывные) дроби ]
[ Линейные рекуррентные соотношения ]
[ Индукция (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

  Пусть a0 – целое, a1, ..., an – натуральные числа. Определим две последовательности
P–1 = 1,  P0 = a0,  Pk = akPk–1 + Pk–2  (1 ≤ k ≤ n);   Q–1 = 0,  Q0 = 1,  Qk = akQk–1 + Qk–2  (1 ≤ k ≤ n).
  Дроби Pk/Qk называются подходящими дробями к числу  [a0; a1, a2, ..., an].
  Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
    а)  Pk/Qk = [a0; a1, a2,..., ak];
    б)  PkQk–1Pk–1Qk = (–1)k+1;
    в)   (Pk, Qk) = 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 233]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .