Точка O лежит на отрезке AB, причём AO = 13, OB = 7. С центром в точке O проведена окружность радиуса 5. Из A и B к ней проведены касательные, пересекающиеся в точке M, причём точки касания лежат по одну сторону от прямой AB. Найдите радиус окружности, описанной вокруг треугольника AMB.

   Решение

Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произведение не изменилось. Приведите пример таких чисел.

   Решение

Пусть M и N — середины сторон CD и DE правильного шестиугольника ABCDEF, P — точка пересечения отрезков AM и BN.
а) Найдите величину угла между прямыми AM и BN.
б) Докажите, что S_ABP = S_MDNP.

   Решение

Числовая последовательность  A₁, A₂, ..., A_n, ...  определена равенствами   A₁ = 1,   A₂ = – 1,   A_n = – A_n–1 – 2A_n–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

   Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 233]      

Требуется сделать набор гирек, каждая из которых весит целое число граммов, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 до 55 граммов включительно даже в том случае, если некоторые гирьки потеряны (гирьки кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Рассмотрите два варианта задачи:
  а) необходимо подобрать 10 гирек, из которых может быть потеряна любая одна;
  б) необходимо подобрать 12 гирек, из которых могут быть потеряны любые две.

Прислать комментарий

Решение

По данному натуральному числу a₀ строится последовательность {a_n} следующим образом     если a_n нечётно, и ^a₀/₂, если a_n чётно. Докажите, что при любом нечётном  a₀ > 5  в последовательности {a_n} встретятся сколь угодно большие числа.

Прислать комментарий

Решение

На окружности даны 10 точек. Сколькими способами можно провести пять отрезков, не имеющих общих точек, с концами в данных точках?

Прислать комментарий

Решение

Числовая последовательность  A₁, A₂, ..., A_n, ...  определена равенствами   A₁ = 1,   A₂ = – 1,   A_n = – A_n–1 – 2A_n–2   (n ≥ 3).
Докажите, что при любом натуральном n число     является полным квадратом.

Прислать комментарий

Решение

  Пусть a₀ – целое, a₁, ..., a_n – натуральные числа. Определим две последовательности
P_–1 = 1,  P₀ = a₀,  P_k = a_kP_k–1 + P_k–2  (1 ≤ k ≤ n);   Q_–1 = 0,  Q₀ = 1,  Q_k = a_kQ_k–1 + Q_k–2  (1 ≤ k ≤ n).
  Дроби ^P_k/_Qk называются подходящими дробями к числу  [a₀; a₁, a₂, ..., a_n].
  Докажите, что построенные последовательности для k = 0, 1, ..., n обладают следующими свойствами:
    а)  ^P_k/_Qk = [a₀; a₁, a₂,..., a_k];
    б)  P_kQ_k–1 – P_k–1Q_k = (–1)^k+1;
    в)   (P_k, Q_k) = 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 233]