Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
На сторонах параллелограмма внешним образом построены квадраты. Докажите, что их центры образуют квадрат.
В прямоугольном треугольнике медианы, проведённые из вершин острых углов,
равны и
. Найдите гипотенузу треугольника.
Докажите, что для любого простого числа p > 2 числитель дроби m/n = 1/1 + 1/2 + ... + 1/p–1 делится на p.
В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AC=BC$) $O$ – центр описанной окружности, $H$ – ортоцентр, $P$ – такая точка внутри треугольника, что $\angle APH=\angle BPO=\pi/2$. Докажите, что $\angle PAC=\angle PBA=\angle PCB$.
а) Докажите, что
ma2 + mb2 + mc2 27R2/4.
б) Докажите, что
ma + mb + mc 9R/2.
Квадратный лист клетчатой бумаги разбит на меньшие квадраты отрезками, идущими по сторонам клеток.
Докажите, что сумма длин этих отрезков делится на 4. (Длина стороны клетки равна 1.)
а) Даны прямые a, b, c, d, проходящие через одну
точку, и прямая l, через эту точку не проходящая. Пусть A,
B, C, D — точки пересечения прямой l с прямыми a, b,
c, d соответственно. Докажите, что
(abcd )= (ABCD).
б) Докажите, что двойное отношение четверки точек
сохраняется при проективных преобразованиях.
Высота треугольника ABC, опущенная на сторону BC, равна h,
B =
,
C =
. Найдите остальные высоты
этого треугольника.
Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?
Задачи Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 201]
Задача 60480 |
|
|
Докажите, что числа Ферма fn = 22n + 1 при n > 1 не представимы в виде суммы двух простых чисел.
|
|
Решение |
Задача 60482 |
|
|
Пусть P(x) – многочлен ненулевой степени с целыми коэффициентами. Могут ли все числа P(0), P(1), P(2), ... быть простыми?
|
|
Решение |
Задача 60509 |
|
|
Докажите, что pn+1 ≤ 22n + 1, где pn – n-е простое число.
|
|
|
Решение |
Задача 60654 |
|
|
Докажите, что для любого простого числа p > 2 числитель дроби m/n = 1/1 + 1/2 + ... + 1/p–1 делится на p.
|
|
|
Решение |
Задача 60753 |
|
|
При помощи задачи 60752 докажите, что существует бесконечно много простых чисел вида p = 4k + 1.
|
|
|
Решение |
Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 201]
