Каталог по темам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]

Тема:

[

]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть для простого числа p > 2 и целого a, не кратного p, выполнено сравнение x² ≡ a (mod p). Докажите, что a^(p–1)/2 ≡ 1 (mod p).

Темы:	[	Малая теорема Ферма	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Даны натуральные числа x и y из отрезка [2, 100]. Докажите, что при некотором натуральном n число x^2ⁿ + y^2ⁿ – составное.

Тема:

[

]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

а) Пусть p – простое число, отличное от 3. Докажите, что число 1...1 (p единиц) не делится на p.

б) Пусть p > 5 – простое число. Докажите, что число 1...1 (p – 1 единица) делится на p.

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
Темы:	[	Малая теорема Ферма	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

Найти все такие натуральные числа p, что p и p⁶ + 6 – простые.

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Целые числа a, b и c таковы, что a³ + b³ + c³ делится на 7. Докажите, что abc делится на 7.

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]