ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



Задача 60740

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором  ak ≡ 1 (mod p).  Докажите, что  p – 1  делится на k.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60756

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и  p > 3.
  а) Докажите, что если разрешимо сравнение  x² + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то  p ≡ 1 (mod 6).
  б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  6k + 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60757

Темы:   [ Простые числа и их свойства ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и  p > 5.  Докажите, что если разрешимо сравнение  x4 + x3 + x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p),  то   p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида  5n + 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60779

 [Теорема Эйлера]
Темы:   [ Теорема Эйлера ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Теорема Эйлера. Пусть  m ≥ 1  и  (a, m) = 1.  Тогда  aφ(m) ≡ 1 (mod m).
Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма
  а) в случае, когда  m = pn;
  б) в общем случае.

Прислать комментарий     Решение

Задача 64353

Темы:   [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Произведения и факториалы ]
[ Малая теорема Ферма ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .