Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 48]
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором ak ≡ 1 (mod p). Докажите, что p – 1 делится на k.
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Пусть p – простое число и p > 3.
а) Докажите, что если разрешимо сравнение x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 6).
б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 6k + 1.
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Пусть p – простое число и p > 5. Докажите,
что если разрешимо сравнение x4 + x3 + x2 + x + 1 ≡ 0 (mod p), то
p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 5n + 1.
[Теорема Эйлера]
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Теорема Эйлера. Пусть m ≥ 1 и (a,
m) = 1. Тогда aφ(m) ≡ 1 (mod m).
Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма
а) в случае, когда m = pn;
б) в общем случае.
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k
простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).
Страница:
<< 4 5 6 7 8 9
10 >> [Всего задач: 48]