Каталог по темам

Задачи

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]

Задача 60740

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Дано простое p и целое a, не делящееся на p. Пусть k – наименьшее натуральное число, при котором a^k ≡ 1 (mod p). Докажите, что p – 1 делится на k.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60756

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 3.
а) Докажите, что если разрешимо сравнение x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 6).
б) Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 6k + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60757

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть p – простое число и p > 5. Докажите, что если разрешимо сравнение x⁴ + x³ + x² + x + 1 ≡ 0 (mod p), то p ≡ 1 (mod 5).
Выведите отсюда бесконечность множества простых чисел вида 5n + 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60779

[Теорема Эйлера]

Темы:	[	Теорема Эйлера	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Теорема Эйлера. Пусть m ≥ 1 и (a, m) = 1. Тогда a^φ(m) ≡ 1 (mod m).
Докажите теорему Эйлера с помощью малой теоремы Ферма
а) в случае, когда m = pⁿ;
б) в общем случае.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64353

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Произведения и факториалы	]
	[	Малая теорема Ферма	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Сендеров В.А.

Найдите все такие натуральные k, что произведение первых k простых чисел, уменьшенное на 1, является точной степенью натурального числа (большей чем первая).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]