Точки Q и R расположены соответственно на сторонах MN и MP треугольника MNP, причём MQ = 3, MR = 4. Найдите площадь треугольника MQR, если MN = 4, MP = 5, NP = 6.

   Решение

Диагональ AC выпуклого четырёхугольника ABCD является диаметром описанной около него окружности. Найдите отношение площадей треугольников ABC и ACD, если известно, что диагональ BD делит AC в отношении 2:5 (считая от точки A), а BAC = 45^o.

   Решение

Взаимно перпендикулярные диаметр KM и хорда AB некоторой окружности пересекаются в точке N,  KN ≠ NM.  На продолжении отрезка AB за точку A взята точка L,  LN = a,  AN = b.  Найдите расстояние от точки N до точки пересечения высот треугольника KLM.

   Решение

Точка M – середина хорды AB. Хорда CD пересекает AB в точке M. На отрезке CD как на диаметре построена полуокружность. Точка E лежит на этой полуокружности, и ME – перпендикуляр к CD. Найдите угол AEB.

   Решение

На окружности даны точки K и L. Постройте такой треугольник ABC, что KL является его средней линией, параллельной AB, и при этом точка C и точка пересечения медиан треугольника ABC лежат на данной окружности.

   Решение

Имеются четыре гири и двухчашечные весы без стрелки. Сколько всего различных по весу грузов можно точно взвесить этими гирями, если
  а) гири можно класть только на одну чашку весов;
  б) гири можно класть на обе чашки весов?

   Решение

Сколько существует шестизначных чисел, делящихся на 5?

   Решение

Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трёх букв. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из четырёх букв.
Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?

   Решение

В выпуклом шестиугольнике ABCDEF все внутренние углы при вершинах равны. Известно, что AB = 3, BC = 4, CD = 5 и EF = 1. Найдите длины сторон DE и AF.

   Решение

В выпуклом шестиугольнике KLMNEF все внутренние углы при вершинах равны. Известно, что KL = 6, LM = 8, MN = 10 и EF = 2. Найдите длины сторон NE и KF.

   Решение

В круг радиуса 1 вписан пятиугольник. Докажите, что сумма длин его сторон и диагоналей меньше 17.

   Решение

Верно ли, что из любых десяти отрезков найдутся три отрезка, из которых можно составить треугольник?

   Решение

Даны 100 палочек. Верно ли, что из них можно выбрать несколько палочек, из которых можно сложить многоугольник?

   Решение

Все рёбра треугольной пирамиды равны между собой. Найдите угол между медианой одной из её граней и скрещивающимся с этой медианой ребром пирамиды.

   Решение

Ребро правильного тетраэдра равно . Найдите радиус шара, поверхность которого касается всех рёбер тетраэдра.

   Решение

Дана трапеция ABCD. Параллельно её основаниям проведена прямая, пересекающая боковые стороны AB и CD соответственно в точках P и Q, а диагонали AC и BD соответственно в точках L и R. Диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Известно, что  BC = a,  AD = b,  а площади треугольников BOC и LOR равны. Найдите PQ, если точка L лежит между точками A и O.

   Решение

В треугольнике ABC точка D делит сторону AB пополам, а точка E лежит на стороне BC, причём отрезок BE в 3 раза меньше стороны BC. Отрезки AE и CD пересекаются в точке O. Найдите AB, если известно, что  AE = 5,  OC = 4,  а  ∠AOC = 120°.

   Решение

Точки P и Q расположены на стороне BC треугольника ABC, причём  BP : PQ : QC = 1 : 2 : 3.  Точка R делит сторону AC этого треугольника так, что
AR : RC = 1 : 2.  Чему равно отношение площади четырёхугольника PQST к площади треугольника ABC, если S и T – точки пересечения прямой BR с прямыми AQ и AP соответственно?

   Решение

В параллелограмме ABCD точки E и F лежат соответственно на сторонах AB и BC, M – точка пересечения прямых AF и DE, причём  AE = 2BE,
а  BF = 3CF.  Найдите отношение  AM : MF.

   Решение

Каждая сторона треугольника разделена на три равные части. Точки деления служат вершинами двух треугольников, пересечение которых – шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника, если площадь данного треугольника равна S.

   Решение

На плоскости расположены три окружности Ω₁, Ω₂, Ω₃ радиусов r₁, r₂, r₃ соответственно – каждая вне двух других, причём  r₁ > r₂  и   r₁ > r₃. Из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₂ проведены касательные к окружности Ω₃, а из точки пересечения общих внешних касательных к окружностям Ω₁ и Ω₃ проведены касательные к окружности Ω₂. Докажите, что последние две пары касательных образуют четырёхугольник, в который можно вписать окружность, и найдите её радиус.

   Решение

Окружность S касается равных сторон AB и BC равнобедренного треугольника ABC в точках P и K, а также касается внутренним образом описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что середина отрезка PK является центром вписанной окружности треугольника ABC.

   Решение

Докажите, что проекции основания высоты треугольника на стороны, ее заключающие, и на две другие высоты лежат на одной прямой.

   Решение

Докажите, что композиция симметрий относительно n параллельных прямых l₁, l₂, ..., l_n есть:

а) параллельный перенос, если n чётно;

б) осевая симметрия, если n нечётно.

   Решение

На отрезке AC взята точка B и на отрезках AB, BC, CA построены полуокружности S₁, S₂, S₃ по одну сторону от AC. D — такая точка на S₃, что BD AC. Общая касательная к S₁ и S₂, касается этих полуокружностей в точках F и E соответственно.
а) Докажите, что прямая EF параллельна касательной к S₃, проведенной через точку D.
б) Докажите, что BFDE — прямоугольник.

   Решение

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена секущая, вторично пересекающаяся с окружностями в точках P и Q. Какую линию описывает середина отрезка PQ, когда секущая вращается вокруг точки A?

   Решение

При каких значениях параметра a один из корней уравнения   x² – ¹⁵/₄ x + a³ = 0  является квадратом другого?

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

При каких значениях параметра a один из корней уравнения   x² – ¹⁵/₄ x + a³ = 0  является квадратом другого?

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что если все коэффициенты уравнения  ax² + bx + c = 0  – целые нечётные числа, то ни один из корней этого уравнения не может быть рациональным.

Прислать комментарий

Решение

Замените $\ast$ одинаковыми числами так, чтобы равенство стало верным: $$\frac{20}{\ast} - \frac{\ast}{15} = \frac{20}{15}$$

Прислать комментарий

Решение

Решите уравнение:   .

Прислать комментарий

Решение

Решить уравнение  x² + 3x + 9 = 9n²  в целых числах.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]