ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 4 задачи
Версия для печати
Убрать все задачи

Докажите, что квадратные корни из комплексного числа  z = a + ib  находятся среди чисел

w = ± ± i .
Как нужно выбрать знак перед вторым слагаемым в скобке, чтобы получить два нужных корня, а не сопряженные к ним числа?

Вниз   Решение


Запишите с помощью неравенств следующие множества точек на комплексной плоскости:
  а) полуплоскость, расположенная строго левее мнимой оси;
  б) первый квадрант, не включая координатных осей;
  в) множество точек, отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее 2;
  г) полукруг радиуса 1 (без полуокружности) с центром в точке O, расположенный не выше действительной оси.

ВверхВниз   Решение


  На каждой из трёх осей установлено по одной вращающейся шестерёнке и неподвижной стрелке. Шестеренки соединены последовательно. На первой шестерёнке 33 зубца, на второй – 10, на третьей – 7. На каждом зубце первой шестерёнки по часовой стрелке написано по одной букве русского языка в алфавитном порядке:

А Б В Г Д Е Ё Ж З И Й К Л М Н О П Р С Т У Ф Х Ц Ч Ш Щ Ъ Ы Ь Э Ю Я.
  На зубцах второй и третьей шестерёнки в порядке возрастания по часовой стрелке написаны цифры от 0 до 9 и от 0 до 6 соответственно. Когда стрелка первой оси указывает на букву, стрелки двух других осей указывают на цифры.
  Буквы сообщения шифруются последовательно. Зашифрование производится вращением первой шестерёнки против часовой стрелки до первого попадания шифруемой буквы под стрелку. В этот момент последовательно выписываются цифры, на которые указывают вторая и третья стрелки. В начале шифрования стрелка 1-го колеса указывала на букву А, а стрелки 2-го и 3-го колес – на цифру 0.
  Зашифруйте слово  О Л И М П И А Д А.

ВверхВниз   Решение


Найдите  min |3 + 2i – z|  при  |z| ≤ 1.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 118]      



Задача 61069

Тема:   [ Алгебраическая форма, сопряжение, модуль и т.п. ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10,11

Представьте в тригонометрической форме числа:
  а)  1 + i;   б)  2 + + i;   в)  1 + cos φ + isin φ;   г)  sin π/6 + isin π/6;   д)  .

Прислать комментарий     Решение

Задача 61071

Тема:   [ Геометрия комплексной плоскости ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10,11

Найдите  min |3 + 2i – z|  при  |z| ≤ 1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61072

Тема:   [ Геометрия комплексной плоскости ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10,11

Запишите с помощью неравенств следующие множества точек на комплексной плоскости:
  а) полуплоскость, расположенная строго левее мнимой оси;
  б) первый квадрант, не включая координатных осей;
  в) множество точек, отстоящих от мнимой оси на расстояние, меньшее 2;
  г) полукруг радиуса 1 (без полуокружности) с центром в точке O, расположенный не выше действительной оси.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61075

Темы:   [ Комплексные числа (прочее) ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10,11

Докажите, что для произвольных комплексных чисел z> и w выполняется равенство  |z + w|2 + | z – w|2 = 2(|z|2 + |w|2).
Какой геометрический смысл оно имеет?

Прислать комментарий     Решение

Задача 61079

Тема:   [ Алгебраические уравнения в C. Извлечение корня ]
Сложность: 2+
Классы: 9,10,11

Докажите, что квадратные корни из комплексного числа  z = a + ib  находятся среди чисел

w = ± ± i .
Как нужно выбрать знак перед вторым слагаемым в скобке, чтобы получить два нужных корня, а не сопряженные к ним числа?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 118]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .