Каталог по темам

Задачи

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 234]

Задача 31254

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Периодичность и непериодичность	]

Сложность: 3+
Классы: 6,7,8

a₁ = a₂ = 1, a_n+1 = a_na_n–1 + 1. Доказать, что a_n не делится на 4.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60517

Темы:	[	Алгоритм Евклида	]
Темы:	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Докажите, что число шагов в алгоритме Евклида может быть сколь угодно большим.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60599

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Числа Фибоначчи	]
	[	Алгоритм Евклида	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Для каждого натурального n приведите пример прямоугольника, который разрезался бы ровно на n квадратов, среди которых должно быть не более двух одинаковых.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61101

Темы:	[	Многочлены Чебышева	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что у многочлена 2T_n(^x/₂) старший коэффициент равен единице, а все остальные коэффициенты – целые числа.
Здесь T_n – многочлен Чебышёва, смотри задачу 61099.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61322

[Арифметико-геометрическое среднее]

Темы:	[	Средние величины	]
	[	Рекуррентные соотношения	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]
	[	Лемма о вложенных отрезках	]

Сложность: 3+
Классы: 10,11

Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {a_n} и {b_n} по правилам:

a₀ = a, b₀ = b, a_n+1 =

, b_n+1 =

(n ≥ 0).

Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется арифметико-геометрическим средним чисел a, b и обозначается μ(a, b).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 25 26 27 28 29 30 31 >> [Всего задач: 234]