ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Тема: Все темы >> Алгебра и арифметика >> Тригонометрия
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для него справедлива теорема синусов (8.7 ) и две теоремы косинусов (8.6 ), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства

cos$\displaystyle \alpha$ = cos$\displaystyle \beta$cos$\displaystyle \gamma$ + sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$cos A,
cos$\displaystyle \beta$ = cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \gamma$ + sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \gamma$cos B,
cos$\displaystyle \gamma$ = cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$cos C,
(8.6)

и, кроме того, величины $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ и A, B, C заключены между 0 и $ \pi$. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$. (8.7)


   Решение

Задачи

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 210]      

  с решениями  

Задача 110173

Темы:   [ Тригонометрические уравнения ]
[ Монотонность и ограниченность ]
[ Тригонометрические неравенства ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Найдите все пары чисел x,y (0;) , удовлетворяющие равенству sin x+ sin y= sin(xy) .
Прислать комментарий     Решение

Задача 61200

Тема:   [ Тригонометрия (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите равенство:

cos$\displaystyle {\frac{\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{2\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{3\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{4\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{5\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{6\pi}{15}}$cos$\displaystyle {\frac{7\pi}{15}}$ = $\displaystyle \left(\vphantom{\frac{1}{2}}\right.$$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\frac{1}{2}}\right)^{7}_{}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61212

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

Докажите, что если $ \alpha$ + $ \beta$ + $ \gamma$ = $ \pi$, то

sin$\displaystyle \alpha$ + sin$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \gamma$ = 4 cos$\displaystyle {\frac{\alpha}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\beta}{2}}$cos$\displaystyle {\frac{\gamma}{2}}$.


Прислать комментарий     Решение

Задача 61218

Тема:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Докажите, что если сумма

a1cos($\displaystyle \alpha_{1}^{}$ + x) + a2cos($\displaystyle \alpha_{2}^{}$ + x) +...+ ancos($\displaystyle \alpha_{n}^{}$ + x)

при x = 0 и x = x1$ \ne$k$ \pi$ (k — целое) обращается в ноль, то она равна нулю при всех x.

Прислать комментарий     Решение

Задача 61247

Темы:   [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ]
[ Теоремы синусов и косинусов для трехгранных углов ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Теорема синусов и первая теорема косинусов для трехгранного угла. Пусть имеется трехгранный угол с плоскими углами $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ и противолежащими им двугранными углами A, B, C. Для него справедлива теорема синусов (8.7 ) и две теоремы косинусов (8.6 ), (8.8) (смотрите ниже). После того, как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической природы задачи и предположим, что просто даны равенства

cos$\displaystyle \alpha$ = cos$\displaystyle \beta$cos$\displaystyle \gamma$ + sin$\displaystyle \beta$sin$\displaystyle \gamma$cos A,
cos$\displaystyle \beta$ = cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \gamma$ + sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \gamma$cos B,
cos$\displaystyle \gamma$ = cos$\displaystyle \alpha$cos$\displaystyle \beta$ + sin$\displaystyle \alpha$sin$\displaystyle \beta$cos C,
(8.6)

и, кроме того, величины $ \alpha$, $ \beta$, $ \gamma$ и A, B, C заключены между 0 и $ \pi$. Докажите, что

$\displaystyle {\frac{\sin A}{\sin \alpha}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin B}{\sin \beta}}$ = $\displaystyle {\frac{\sin C}{\sin \gamma}}$. (8.7)


Прислать комментарий     Решение

Страница: << 10 11 12 13 14 15 16 >> [Всего задач: 210]      

  с решениями  

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .