Каталог по темам

Выбрано 11 задач

Дан треугольник $ABC$ и окружность $\gamma$ с центром в точке $A$ , которая пересекает стороны $AB$ и $AC$ . Пусть общая хорда описанной окружности треугольника и окружности $\gamma$ пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $X$ и $Y$ соответственно. Отрезки $CX$ и $BY$ пересекают $\gamma$ в точках $S$ и $T$ соответственно. Описанные окружности треугольников $ACT$ и $BAS$ пересекаются в точках $A$ и $P$ . Докажите, что прямые $CX$ , $BY$ , и $AP$ пересекаются в одной точке.

Решение

Между двумя параллельными прямыми дана точка. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, проходящую через эту точку и касающуюся данных прямых.

Решение

Окружность, построенная на основании AD трапеции ABCD как на диаметре, проходит через середины боковых сторон AB и CD трапеции и касается основания BC. Найдите углы трапеции.

Решение

Докажите, что все корни уравнения a(z – b)ⁿ = c(z – d )ⁿ, где a, b, c, d – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.

Решение

Автор: Курляндчик Л.Д.

Сумма шестых степеней шести целых чисел на единицу больше, чем их ушестерённое произведение.
Докажите, что одно из чисел равно единице или минус единице, а остальные – нули.

Решение

В остроугольном треугольнике MKN проведена биссектриса KL. Точка X на стороне MK такова, что KX = KN. Докажите, что прямые KO и XL перпендикулярны (O – центр описанной окружности треугольника MKN).

Решение

Автор: Бродский Д.Ю.

Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $S$ . Точки $X$ , $Y$ на биссектрисе угла $S$ таковы, что $\angle AXC-\angle AYC=\angle ASC$ . Докажите, что $\angle BXD-\angle BYD=\angle BSD$ .

Решение

Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Из центра O большей окружности проведён радиус OB, касающийся меньшей окружности в точке C. Найдите $\angle$ BAC.

Решение

Вершины M и N равнобедренного треугольника BMN (BM = BN) лежат соответственно на сторонах AD и CD квадрата ABCD. Докажите, что MN || AC.

Решение

Точки C и D лежат на окружности с диаметром AB и отличны от A и B. Прямые AC и BD пересекаются в точке P, а прямые AD и BC — в точке Q. Докажите, что AB перпендикулярно PQ.

Решение

Автор: Шноль Д.Э.

Компания из нескольких друзей вела переписку так, что каждое письмо получали все, кроме отправителя. Каждый написал одно и то же количество писем, в результате чего всеми вместе было получено 440 писем. Сколько человек могло быть в этой компании?

Решение

Задача 64683

Задача 65063

Задача 65073

Задача 65126

Задача 65299