Фильтр
Выбрано 9 задач Убрать все задачи
Одна из боковых сторон трапеции равна сумме оснований.
Докажите, что биссектрисы углов при этой стороне пересекаются на другой боковой стороне.
Все натуральные числа выписали в ряд в некотором порядке (каждое число по одному разу). Обязательно ли найдутся несколько (больше одного) чисел, выписанных подряд (начиная с какого-то места), сумма которых будет простым числом?
Точка $M$ – середина большей боковой стороны $CD$ прямоугольной трапеции $ABCD$. Описанные около треугольников $BCM$ и $AMD$ окружности $\omega_1$ и $\omega_2$ пересекаются в точке $E$. Пусть $ED$ пересекает $\omega_1$ в точке $F$, а $FB$ пересекает $AD$ в $G$. Докажите, что $GM$ – биссектриса угла $BGD$.
Докажите, что биссектрисы углов выпуклого
четырехугольника образуют вписанный четырехугольник.
Вершина A остроугольного треугольника ABC
соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A
проведена высота AH. Докажите, что
BAH =
OAC.
Две окружности имеют радиусы R1 и R2, а расстояние
между их центрами равно d. Докажите, что эти окружности
ортогональны тогда и только тогда, когда
d2 = R12 + R22.
Две окружности S1 и S2 с центрами O1 и O2
касаются в точке A. Через точку A проведена прямая,
пересекающая S1 в точке A1 и S2 в точке A2. Докажите,
что
O1A1 || O2A2.
Изначально на стол кладут 100 карточек, на каждой из которых записано по натуральному числу; при этом среди них ровно 28 карточек с нечётными числами. Затем каждую минуту проводится следующая процедура. Для каждых 12 карточек, лежащих на столе, вычисляется произведение записанных на них чисел, все эти произведения складываются, и полученное число записывается на новую карточку, которая добавляется к лежащим на столе. Можно ли выбрать исходные 100 чисел так, что для любого натурального d на столе рано или поздно появится карточка с числом, кратным 2d?
Известно, что . Какие значения может принимать выражение
?
Задачи Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 89]
Задача 61060 |
|
|
Пусть a, b и c – три различных числа. Докажите, что из равенств
следует, что x = y = z = 0.
|
|
Решение |
Задача 61341 |
|
|
Решите системы
а)
б)
в)
г)
|
|
|
Решение |
Задача 61345 |
|
|
Может ли система линейных уравнений с действительными
коэффициентами иметь в точности два различных решения?
|
|
|
Решение |
Задача 64828 |
|
|
Известно, что . Какие значения может принимать выражение
?
|
|
Решение |
Задача 65425 |
|
|
Сумма трёх различных чисел равна 10, а разность между наибольшим и наименьшим равна 3.
Какие значения может принимать число, среднее по величине?
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 89]
