Версия для печати
Убрать все задачи
Биссектрисы углов
A и
C треугольника
ABC пересекают
описанную около него окружность в точках
E и
D соответственно.
Отрезок
DE пересекает стороны
AB и
BC в точках
F и
G .
Пусть
I – точка пересечения биссектрис треугольника
ABC .
Докажите, что четырёхугольник
BFIG – ромб.
Решение
На прямой через равные промежутки отмечены 1996 точек. Петя
раскрашивает половину из них в красный цвет, а остальные – в синий. Затем
Вася разбивает их на пары красная-синяя так, чтобы сумма расстояний
между точками в парах была максимальной. Докажите, что этот максимум не
зависит от того, какую раскраску сделал Петя.
Решение
Три плоскости разрезают параллелепипед на 8 шестигранников, все грани которых – четырёхугольники (каждая плоскость пересекает свои две пары противоположных граней параллелепипеда и не пересекает две оставшиеся грани). Известно, что вокруг одного из этих шестигранников можно описать сферу. Докажите, что и вокруг каждого из них можно описать сферу.
Решение
Через вершину A равностороннего треугольника ABC проведена прямая, не пересекающая отрезок BC. По разные стороны от точки A на этой прямой взяты точки M и N так, что AM = AN = AB (точка B внутри угла MAC). Докажите, что прямые AB, AC, BN, CM образуют вписанный четырёхугольник.
Решение
Фильтр
