Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 6 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

На полке стоит 12 книг. Сколькими способами можно выбрать из них пять книг, никакие две из которых не стоят рядом?

Вниз   Решение


Докажите, что диаметр, проходящий через середину хорды, не являющейся диаметром, перпендикулярен этой хорде.

ВверхВниз   Решение


Натуральное число умножили последовательно на каждую из его цифр. Получилось 1995. Найдите исходное число.

ВверхВниз   Решение


Общество из n членов выбирает из своего состава одного представителя.
  а) Сколькими способами может произойти открытое голосование, если каждый голосует за одного человека (быть может, и за себя)?
  б) Решите ту же задачу, если голосование – тайное, то есть учитывается лишь число голосов, поданных за каждого кандидата, и не учитывается, кто за кого голосовал персонально.

ВверхВниз   Решение


Кусок сыра надо разрезать на части с соблюдением таких правил:
    вначале режем сыр на два куска, затем один из них режем на два куска, затем один из трёх кусков опять режем на два куска, и т.д.;
    после каждого разрезания части могут быть разными по весу, но отношение веса каждой части к весу любой другой должно быть строго больше заданного числа $R$.
  а) Докажите, что при  $R$ = 0,5  можно резать сыр так, что процесс никогда не остановится (после любого числа разрезаний можно будет отрезать ещё один кусок).
  б) Докажите, что если  $R$ > 0,5,  то процесс резки когда-нибудь остановится.
  в) На какое наибольшее число кусков можно разрезать сыр, если  $R$ = 0,6?

ВверхВниз   Решение


Автор: Храбров А.

Числа a, b, c и d таковы, что  a² + b² + c² + d² = 4.  Докажите, что  (2 + a)(2 + b) ≥ cd.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 258]      



Задача 65117

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Храбров А.

Числа a, b, c и d таковы, что  a² + b² + c² + d² = 4.  Докажите, что  (2 + a)(2 + b) ≥ cd.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65122

Темы:   [ Иррациональные неравенства ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Козлов П.

Положительные числа a, b, c удовлетворяют соотношению  ab + bc + ca = 1.  Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 65679

Темы:   [ Теорема Виета ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Уравнение с целыми коэффициентами  x4 + ax³ + bx² + cx + d = 0  имеет четыре положительных корня с учетом кратности.
Найдите наименьшее возможное значение коэффициента b при этих условиях.

Прислать комментарий     Решение

Задача 73542

Темы:   [ Алгебраические задачи на неравенство треугольника ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

a, b, c – длины сторон треугольника. Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 98060

Темы:   [ Ортогональная (прямоугольная) проекция ]
[ Неравенство Коши ]
[ Неравенства с площадями ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На квадратный лист бумаги со стороной a посадили несколько клякс, площадь каждой из которых не больше 1. Оказалось, что каждая прямая, параллельная сторонам листа, пересекает не более одной кляксы. Докажите, что суммарная площадь клякс не больше a.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 258]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .