Версия для печати
Убрать все задачи

---

Пусть n – натуральное число. На  2n + 1  карточках написано по ненулевому целому числу; сумма всех чисел также ненулевая. Требуется этими карточками заменить звёздочки в выражении  *x²ⁿ + *x^2n–1 + ... *x + *  так, чтобы полученный многочлен не имел целых корней. Всегда ли это можно сделать?

   Решение

---

У нумизмата есть 100 одинаковых по внешнему виду монет. Он знает, что среди них 30 настоящих и 70 фальшивых монет. Кроме того, он знает, что массы всех настоящих монет одинаковы, а массы всех фальшивых – разные, причём каждая фальшивая монета тяжелее настоящей; однако точные массы монет неизвестны. Имеются двухчашечные весы без гирь, на которых можно за одно взвешивание сравнить массы двух групп, состоящих из одинакового числа монет. За какое наименьшее количество взвешиваний на этих весах нумизмат сможет гарантированно найти хотя бы одну настоящую монету?

   Решение

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 160]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67508

Темы:   [ Покрытия ] [ Геометрия на клетчатой бумаге ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

В квадрате $2025 \times 2025$ отмечено несколько клеток. За один ход Кирилл может узнать количество отмеченных клеток в любом клетчатом квадрате со стороной меньше $2025$ внутри исходного квадрата. Какого наименьшего количества ходов точно хватит, чтобы узнать количество отмеченных клеток во всём квадрате?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67519

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Комбинаторика (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Пусть $A$ — набор из $n>1$ различных натуральных чисел. Для каждой пары чисел $a,b\in A$, где $a < b$, подсчитаем, сколько чисел в $A$ являются делителями числа $b-a$. Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных $\frac{n(n-1)}2$ чисел?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109550

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Свойства модуля. Неравенство треугольника ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

На доске написано число 0. Два игрока по очереди приписывают справа к выражению на доске: первый – знак + или - , второй – одно из натуральных чисел от 1 до 1993. Игроки делают по 1993 хода, причем второй записывает каждое из чисел от 1 до 1993 ровно по одному разу. В конце игры второй игрок получает выигрыш, равный модулю алгебраической суммы, написанной на доске. Какой наибольший выигрыш он может себе гарантировать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 110044

Темы:   [ Взвешивания ] [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Среди 2000 внешне неразличимых шариков половина – алюминиевые массой 10 г, а остальные – дюралевые массой 9,9 г. Требуется выделить две кучки шариков так, чтобы массы кучек были различны, а число шариков в них – одинаково. Каким наименьшим числом взвешиваний на чашечных весах без гирь это можно сделать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 97769

Темы:   [ Двоичная система счисления ] [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10,11

64 друга одновременно узнали 64 новости, причём каждый узнал одну новость. Они стали звонить друг другу и обмениваться новостями. Каждый разговор длится 1 час. Какое минимальное количество часов необходимо, чтобы все узнали все новости? (Во время одного разговора можно передать сколько угодно новостей.)

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 160]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями