Страница:
<< 37 38 39 40
41 42 43 >> [Всего задач: 233]
|
[Арифметико-гармоническое среднее]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Пусть a и b – два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {an} и {bn} формулами:
a0 =
a, b0 =
b, an+1 =
,
bn+1 =
(
n ≥ 0).
а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется
арифметико-гармоническим средним чисел
a и
b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел
a и
b.
в) Пусть
a = 1,
b = k. Как последовательность {
bn} связана с последовательностью {
xn} из задачи
61299?
|
[Геометрико-гармоническое среднее]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Назовём геометрико-гармоническим средним чисел a и b общий предел последовательностей {an} и {bn}, построенных по правилу
a0 =
a, b0 =
b,
an+1 =
,
bn+1 =
(
n ≥ 0).
Обозначим его через ν(
a, b). Докажите, что величина
ν(
a, b) связана с μ(
a, b) (см. задачу
61322) равенством
ν(
a, b)·μ(
1/
a,
1/
b) = 1.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
Монету бросают 10 раз. Найдите вероятность того, что ни разу не выпадут два орла подряд.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
|
На клавиатуре калькулятора есть цифры от 0 до 9 и знаки двух действий (см. рисунок). Вначале на дисплее написано число 0. Можно нажимать любые клавиши. Калькулятор выполняет действия в последовательности нажатий. Если знак действия нажать подряд несколько раз, то калькулятор запомнит только последнее нажатие.
а) Кнопка со знаком умножения сломалась и не работает. Рассеянный Учёный нажал несколько кнопок в случайной последовательности. Какой результат получившейся цепочки действий более вероятен – чётное число или нечётное?
б) Решите предыдущую задачу, если кнопку со знаком умножения
починили.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
|
Существует ли 2005 таких различных натуральных чисел, что сумма любых 2004 из них делится на оставшееся число?
Страница:
<< 37 38 39 40
41 42 43 >> [Всего задач: 233]
Фильтр
Решение 
