Каталог по темам

Задачи

Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 416]

Задача 65320

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Средние величины	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Муха двигается из начала координат только вправо или вверх по линиям целочисленной сетки (монотонное блуждание). В каждом узле сетки муха случайным образом выбирает направление дальнейшего движения: вверх или вправо.
а) Докажите, что рано или поздно муха достигнет точки с абсциссой 2011.
б) Найдите математическое ожидание ординаты Мухи в момент, когда муха достигла абсциссы 2011.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65323

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Теория графов (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

На шкуре у Носорога складки – вертикальные и горизонтальные. Если у Носорога на левом боку a вертикальных, b горизонтальных складок, а на правом – c вертикальных и d горизонтальных, будем говорить, что это Носорог в состоянии (abcd) или просто Носорог (abcd).
Если Носорог чешется каким-то боком о баобаб вверх-вниз, и у Носорога на этом боку есть две горизонтальные складки, то эти две горизонтальные складки разглаживаются. Если двух таких складок нет, то ничего не происходит.
Аналогично если Носорог чешется боком вперед-назад, и на этом боку есть две вертикальные складки, то они разглаживаются, если же таких двух складок не найдётся, то ничего не происходит.
Если на каком-то боку две какие-то складки разглаживаются, то на другом боку немедленно появляется две новые складки: одна вертикальная и одна горизонтальная.
Носороги чешутся часто, случайным боком о случайные баобабы в случайных направлениях.

Вначале в саванне было стадо Носорогов (0221). Докажите, что через некоторое время в саванне появится Носорог (2021).

Прислать комментарий

Решение

Задача 98027

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Рациональные и иррациональные числа	]
	[	Метод спуска	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Фольклор

Плоскость разбита тремя сериями параллельных прямых на равные между собой равносторонние треугольники.
Существуют ли четыре вершины этих треугольников, образующие квадрат?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98038

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Ряды с неотрицательными членами	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Толпыго А.К.

Натуральный ряд представлен в виде объединения некоторого множества попарно непересекающихся целочисленных бесконечных арифметических прогрессий с положительными разностями d₁, d₂, d₃, ... . Может ли случиться, что при этом сумма ¹/_d₁ + ¹/_d₂ + ... + ¹/_{d_k} не превышает 0,9? Рассмотрите случаи:
а) общее число прогрессий конечно;
б) прогрессий бесконечное число (в этом случае условие нужно понимать в том смысле, что сумма любого конечного числа слагаемых из бесконечной суммы не превышает 0,9).

Прислать комментарий

Решение

Задача 35619

Темы:	[	Принцип крайнего	]
	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Перебор случаев	]
	[	Подпоследовательности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

За дядькой Черномором выстроились чередой бесконечное число богатырей разного роста. Докажите, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечное число богатырей и все они стояли по росту (в порядке возрастания или убывания).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 71 72 73 74 75 76 77 >> [Всего задач: 416]