Страница:
<< 70 71 72 73
74 75 76 >> [Всего задач: 416]
|
[Арифметико-гармоническое среднее]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Пусть a и b – два положительных числа, и a < b. Определим две последовательности чисел {an} и {bn} формулами:
a0 =
a, b0 =
b, an+1 =
,
bn+1 =
(
n ≥ 0).
а) Докажите, что обе эти последовательности имеют общий предел.
Этот предел называется
арифметико-гармоническим средним чисел
a и
b.
б) Докажите, что этот предел совпадает со средним геометрическим чисел
a и
b.
в) Пусть
a = 1,
b = k. Как последовательность {
bn} связана с последовательностью {
xn} из задачи
61299?
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10
|
Даны различные действительные числа a, b, с. Докажите, что хотя бы два из уравнений (x – a)(x – b) = x – c, (x – b)(x – c) = x – a,
(x – c)(x – a) = x – b имеют решение.
Последовательность натуральных чисел {xn} строится по следующему правилу: x1 = 2, ..., xn = [1,5xn–1].
Доказать, что последовательность yn = (–1)xn непериодическая.
|
|
|
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
|
На доске написано: x³ + ...x² + ...x + ... = 0. Два школьника по очереди вписывают вместо многоточий действительные числа. Цель первого – получить уравнение, имеющее ровно один действительный корень. Сможет ли второй ему помешать?
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Докажите, что число p входит в разложение n! с показателем, не превосходящим 
Страница:
<< 70 71 72 73
74 75 76 >> [Всего задач: 416]
Фильтр
