Страница:
<< 69 70 71 72
73 74 75 >> [Всего задач: 416]
Про бесконечный набор прямоугольников известно, что в нём для любого числа S найдутся прямоугольники суммарной площади больше S.
а) Обязательно ли этим набором можно покрыть всю плоскость, если при этом допускаются наложения?
б) Тот же вопрос, если дополнительно известно, что все прямоугольники в наборе являются квадратами.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
а) В бесконечной последовательности бумажных прямоугольников площадь n-го прямоугольника равна n². Обязательно ли можно покрыть ими плоскость? Наложения допускаются.
б) Дана бесконечная последовательность бумажных квадратов. Обязательно ли можно покрыть ими плоскость (наложения допускаются), если известно, что для любого числа N найдутся квадраты суммарной площади больше N?
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Пусть
M={x1, .., x30
} – множество, состоящее из 30 различных положительных
чисел;
An (
1
n 30
) – сумма всевозможных произведений различных
n элементов
множества
M . Докажите, что если
A15
>A10
, то
A1>1
.
|
|
|
Сложность: 7
Классы: 9,10,11
|
Пусть
l1,
l2, ...,
ln — несколько прямых на плоскости, не все из которых параллельны. Докажите, что можно единственным образом выбрать на каждой из этих прямых по точке
X1,
X2, ...,
Xn так, чтобы перпендикуляр, восставленный к прямой
lk в точке
Xk (для любого натурального
k < n), проходил через точку
Xk + 1, а перпендикуляр, восставленный к прямой
ln в
точке Xn, проходил через
точку X1.
Попробуйте сформулировать и доказать аналогичную теорему в пространстве.
|
[Арифметико-геометрическое среднее]
|
|
Сложность: 3+
Классы: 10,11
|
Пусть a и b – два положительных числа, причём a < b. Построим по этим числам две последовательности {an} и {bn} по правилам:
a0 =
a,
b0 =
b,
an+1 =
,
bn+1 =
(
n ≥ 0).
Докажите, что обе эти последовательности имеют один и тот же предел.
Этот предел называется
арифметико-геометрическим средним чисел
a, b и обозначается μ(
a, b).
Страница:
<< 69 70 71 72
73 74 75 >> [Всего задач: 416]
Фильтр
